数列 \(\{ a _ n \}, \{ b _ n \}, \{ c _ n \}\) を \[\begin{align} a _ 1 & = 2 , \ a _ {n+1} = 4 a _ n \ . \\ b _ 1 & = 3 , \ b _ {n+1} = b _ n +2 a _ n \ . \\ c _ 1 & = 4 , \ c _ {n+1} = \dfrac{c _ n}{4} +a _ n +b _ n \end{align}\] と順に定める. 放物線 \(y = a _ n x^2 +2 b _ n x +c _ n\) を \(H _ n\) とする.
(1) \(H _ n\) は \(x\) 軸と \(2\) 点で交わることを示せ.
(2) \(H _ n\) と \(x\) 軸との交点を \(\text{P}{} _ n , \text{Q}{} _ n\) とする. \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \text{P}{} _ n \text{Q}{} _ n\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
数学的帰納法を用いて示す.
1* \(n=1\) のとき \[ 2x^2+6x+4 = 0 \] 判別式を \(D _ 1\) とおくと \[ \dfrac{D _ 1}{4} = 3^2 -2 \cdot 4 = 1 \gt 0 \] したがって, \(H _ 1\) は \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる.
2* \(n = k \ ( k \geqq 1 )\) のとき
\(H _ k\) が \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる, すなわち \(a _ k x^2 +2 b _ k x +c _ k = 0\) の判別式 \(D _ k\) について \[ \dfrac{D _ k}{4} = {b _ k}^2 -a _ k c _ k \gt 0 \quad ... [1] \] が成立すると仮定すると \(a _ {k+1} x^2 +2 b _ {k+1} x +c _ {k+1} = 0\) の判別式 \(D _ {k+1}\) について \[\begin{align} \dfrac{D _ {k+1}}{4} & = {b _ {k+1}}^2 -a _ {k+1} c _ {k+1} \\ & = \left( b _ k +2 a _ k \right)^2 -4 a _ k \left( \dfrac{c _ k}{4} +a _ k +b _ k \right) \\ & = {b _ k}^2 -a _ k c _ k \\ & = \dfrac{D _ k}{4} \gt 0 \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ ) \end{align}\] ゆえに, \(H _ {k+1}\) も \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる.
以上より, すべての自然数 \(n\) について, \(H _ n\) は \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる.
(2)
\(a _ n x^2 +2 b _ n x +c _ n = 0\) の \(2\) 解を \({\alpha} _ n , {\beta} _ n \ ( {\alpha} _ n \lt {\beta} _ n )\) とおくと, 解と係数の関係より \[ {\alpha} _ n + {\beta} _ n = -\dfrac{2 b _ n}{a _ n} , \ {\alpha} _ n {\beta} _ n = \dfrac{c _ n}{a _ n} \] これを用いれば \[\begin{align} \text{P}{} _ n \text{Q}{} _ n & = {\beta} _ n - {\alpha} _ n \\ & = \sqrt{\left( {\alpha} _ n + {\beta} _ n \right)^2 -4 {\alpha} _ n {\beta} _ n} \\ & = \dfrac{\sqrt{4 {b _ n}^2 -4 a _ n c _ n}}{a _ n} \\ & = \dfrac{2}{a _ n} \sqrt{\dfrac{D _ n}{4}} = \dfrac{\sqrt{D _ n}}{a _ n} \quad ... [2] \end{align}\] (1) の途中経過より, \(D _ n\) は \(n\) によらず一定で \[ D _ n = D _ 1 = 6^2 -4 \cdot 2 \cdot 4 = 4 \] また, 条件より \(\{ a _ n \}\) は初項 \(2\) , 公比 \(4\) の等比数列なので \[ a _ n = 2 \cdot 4^{n-1} = 2^{2n-1} \] これらを [2] に代入すれば \[ \text{P}{} _ n \text{Q}{} _ n = \left( \dfrac{1}{4} \right)^{n-1} \] よって求める和は \[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \text{P}{} _ n \text{Q}{} _ n & = \dfrac{1 -\left( \frac{1}{4} \right)^n}{1 -\frac{1}{4}} \\ & = \underline{\dfrac{4}{3} \left\{ 1 -\left( \dfrac{1}{4} \right)^n \right\}} \end{align}\]