放物線 \(y=ax^2+bx \ ( a \gt 0 )\) を \(C\) とする. \(C\) 上に異なる \(2\) 点 P , Q をとり, その \(x\) 座標をそれぞれ \(p , q \ ( 0 \lt p \lt q )\) とする.
(1) 線分 OQ と \(C\) で囲まれた部分の面積が, △OPQ の面積の \(\dfrac{3}{2}\) 倍であるとき, \(p\) と \(q\) の関係を求めよ. ただし, O は原点を表す.
(2) Q を固定して P を動かす. △OPQ の面積が最大となるときの \(p\) を \(q\) で表せ. また, そのときの △OPQ の面積と, 線分 OQ と \(C\) で囲まれた部分の面積との比を求めよ.
【 解 答 】
(1)
線分 OQ と \(C\) に囲まれた部分, △OPQ の面積をそれぞれ \(S , T\) とおく. \[\begin{align} S & = -\displaystyle\int _ 0^q ax(x-q) \, dx \\ & = \dfrac{1}{6} aq^3 , \\ T & = \dfrac{1}{2} \left| p (aq^2+bq) -q (ap^2+bp) \right| \\ & = \dfrac{1}{2} apq(q-p) \end{align}\] \(S = \dfrac{3}{2} T\) なので \[\begin{align} \dfrac{1}{6} aq^3 & = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{2} apq(q-p) \\ 2q^2 -9pq +9p^2 & = 0 \\ (2q-3p)(q-3p) & = 0 \text{∴} \quad \underline{ q = 3p , \dfrac{3p}{2}} & \end{align}\]
(2)
\[
T = \dfrac{aq}{2} \left\{ -\left( p -\dfrac{q}{2} \right)^2 +\dfrac{q^2}{4} \right\}
\]
したがって, \(T\) を最大にする \(p\) は
\[
p = \underline{\dfrac{q}{2}}
\]
これは, \(0 \lt p \lt q\) を満たしている.
このとき
\[\begin{align}
T : S & = \dfrac{1}{8} aq^3 : \dfrac{1}{6} aq^3 \\
& = \underline{3 : 4}
\end{align}\]