\(6 \cdot 3^{3x} +1 = 7 \cdot 5^{2x}\) を満たす \(0\) 以上の整数 \(x\) をすべて求めよ.
【 解 答 】
\(x = 0\) のとき \[ 6 \cdot 1 +1 = 7 = 7 \cdot 1 \]
\(x = 1\) のとき \[ 6 \cdot 27 +1 = 163 \neq 175 = 7 \cdot 25 \]
\(x = 2\) のとき \[ 6 \cdot 729 +1 = 4375 = 7 \cdot 625 \]
以下では, \(x \geqq 3\) が解でないことを示す.
\(x \geqq 2\) のときに \(6 \cdot 3^{3x} +1 \geqq 7 \cdot 5^{2x}\) ... [1] が成立すると仮定すると
\[\begin{align}
6 \cdot 27^{x+1} +1 & \geqq ( 25 +2 ) ( 7 \cdot 25^x -1 ) +1 \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ )\\
& = 7 \cdot 25^{x+1} +14 \cdot 25^x -26 \\
& \gt 7 \cdot 25^{x+1}
\end{align}\]
したがって, 帰納的に \(n \geqq 3\) においては
\[
6 \cdot 3^{3x} +1 \gt 7 \cdot 5^{2x}
\]
よって, 求める解は
\[
x = \underline{0 , 2}
\]