\(a\) を実数とし, \(f(x) = x^3 -3ax\) とする. 区間 \(-1\leq x \leqq 1\) における \(| f(x) |\) の最大値を \(M\) とする. \(M\) の最小値とそのときの \(a\) の値を求めよ.
【 解 答 】
\[
| f(-x) | = | -x^3 +3ax | = | x^3 -3ax | = | f(x) |
\]
なので, \(0 \leqq x \leqq 1\) における \(| f(x) |\) の最大値について考えればよい.
\[
f'(x) = 3x^2 -3a = 3 \left( x -\sqrt{3} \right) \left( x +\sqrt{3} \right)
\]
なので, \(0 \lt a \lt 1\) のとき, \(| f(x) |\) は極値をとる.
したがって, \(M\) の候補は
\[\begin{align}
| f(0) | & = 0 \\
| f(1) | & = | 1 -3a | = \left\{ \begin{array}{ll} 1 -3a & \left( \ a \lt \dfrac{1}{3} \ \text{のとき} \ \right) \\ 3a -1 & \left( \ a \geqq \dfrac{1}{3} \ \text{のとき} \ \right) \end{array} \right. \\
| f(a) | & = \left| a \sqrt{a} -3a \sqrt{a} \right| = 2 a^{\frac{3}{2}} \quad ( \ 0 \lt a \lt 1 \ \text{のとき} \ )
\end{align}\]
これらの大小を比較すると, \(M\) のグラフは下図のようになる.
よって, \(M\) は \(a = \underline{\dfrac{1}{4}}\) のとき, 最小値 \(\underline{\dfrac{1}{4}}\) をとる.