平面上の \(2\) つのベクトル \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) は零ベクトルではなく, \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角度は \(60^{\circ}\) である. このとき \[ r = \dfrac{\left| \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{b} \right|}{\left| 2 \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right|} \] のとりうる値の範囲を求めよ.
【 解 答 】
\(a = \left| \overrightarrow{a} \right|\) , \(b = \left| \overrightarrow{b} \right|\) とおくと, \(a \gt 0\) , \(b \gt 0\) .
\[
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = ab \cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2} ab
\]
を用いれば
\[\begin{align}
\left| \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{b} \right|^2 & = a^2 +2ab +4 b^2 \ , \\
\left| 2 \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right|^2 & = 4 a^2 +2ab +b^2
\end{align}\]
\(t = \dfrac{a}{b} ( \gt 0 )\) とおくと
\[\begin{align}
r^2 & = \dfrac{a^2 +2ab +4 b^2}{4 a^2 +2ab +b^2} \\
& = \dfrac{t^2 +2t +4}{4t^2 +2t +1}
\end{align}\]
これを変形して
\[\begin{gather}
( 4t^2 +2t +1 ) r^2 = t^2 +2t +4 \\
\text{∴} \quad ( 4r^2 -1 ) t^2 +2 ( r^2 -1 ) t +r^2 -4 = 0 \quad ... [1]
\end{gather}\]
したがって, [1] が \(t \gt 0\) に解をもつ条件を求めればよい.
1* \(r = \dfrac{1}{2}\) のとき
[1] より \[\begin{align} -2 \cdot \dfrac{3}{4} t -\dfrac{15}{4} & = 0 \\ \text{∴} \quad t = -\dfrac{5}{2} \end{align}\] これは, \(t \gt 0\) に解をもたないので不適.2* \(r \neq \dfrac{1}{2}\) のとき
\(4 r^2 -1 \gt 2 ( r^2 -1 ) \gt r^2 -4 \) であることに注意すれば, 正の実数解をもつ条件は \[\begin{gather} 4 r^2 -1 \gt 0 \ \text{かつ} \ r^2 -4 \lt 0 \\ \text{∴} \quad \dfrac{1}{2} \lt r \lt 2 \end{gather}\]
以上より, 求める値の範囲は \[ \underline{\dfrac{1}{2} \lt r \lt 2} \]