\(x\) は \(0\) 以上の整数である. 次の表は \(2\) つの科目 X と Y の試験を受けた \(5\) 人の得点をまとめたものである. \[ \begin{array}{c|ccccc} & [1] & [2] & [3] & [4] & [5] \\ \hline \text{科目 X の得点} & x & 6 & 4 & 7 & 4 \\ \hline \text{科目 Y の得点} & 9 & 7 & 5 & 10 & 9 \end{array} \]
(1) \(2n\) 個の実数 \(a_1 , a_2 , \cdots , a_n , b_1 , b_2 , \cdots b_n\) について, \(a = \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} a_k\) , \(b = \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} b_k\) とすると, \[ \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} ( a_k -a ) ( b_k -b ) = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} a_k b_k -nab \] が成り立つことを示せ.
(2) 科目 X の得点と科目 Y の得点の相関係数 \(r_{XY}\) を \(x\) で表せ.
(3) \(x\) の値を \(2\) 増やして \(r _{XY}\) を計算しても値は同じであった. このとき, \(r _{XY}\) の値を四捨五入して小数第 \(1\) 位まで求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} ( a_k -a ) ( b_k -b ) & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} \left( a_k b_k -b a_k -a b_k +ab \right) \\ & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} a_k b_k -nab -nab +nab \\ & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} a_k b_k -nab \end{align}\]
(2)
\(5\) 人の X ,Y それぞれの得点を \(x_k , y_k \ ( k = 1 , \cdots , 5 )\) として, 平均を \(\overline{x} , \overline{y}\) , 分散を \({s_X}^2 , {s_Y}^2\) , X と Y の共分散を \(s _ {XY}\) とおくと, (1) の結果も用いて \[\begin{align} \overline{x} & = \dfrac{x +21}{5} \ , \\ \overline{y} & = \dfrac{40}{5} = 8 \ , \\ {s_X}^2 & = \dfrac{x^2 +36 +16 +49 +16}{5} -\overline{x}^2 \\ & = \dfrac{x^2 +112}{5} -\dfrac{(x +21)^2}{25} \\ & = \dfrac{4 x^2 -42x +144}{25} , \\ {s_Y}^2 & = \dfrac{81 +49 +25 +100 +81}{5} -\overline{y}^2\\ & = \dfrac{336}{5} -64 = \dfrac{16}{5} \ , \\ s _ {XY} & = \dfrac{1}{5} \textstyle\sum\limits _ {i=k}^{n} x_k y_k -\overline{x} \overline{y} \\ & = \dfrac{9x +42 +20 +70 +36}{5} -\dfrac{x +21}{5} \cdot 8 \\ & = \dfrac{9x +168}{5} -\dfrac{8x +168}{5} \\ & = \dfrac{x}{5} \end{align}\] よって, 求める値は \[\begin{align} r_{XY} & = \dfrac{s _ {XY}}{s_X s_Y} \\ & = \dfrac{\dfrac{x}{5}}{\dfrac{\sqrt{4 x^2 -42x +144}}{5} \cdot \dfrac{4}{\sqrt{5}}} \\ & = \underline{\dfrac{\sqrt{5} x}{4 \sqrt{4 x^2 -42x +144}}} \end{align}\]
(3)
条件より \[\begin{align} \dfrac{\sqrt{5} x}{4 \sqrt{4 x^2 -42x +144}} & = \dfrac{\sqrt{5} (x+2)}{4 \sqrt{4 (x+2)^2 -42(x+2) +144}} \\ 5 x^2 ( 4 x^2 -26x +76 ) & = 5 (x+2)^2 ( 4 x^2 -42x +144 ) \\ 20 x^4 -130 x^3 +380 x^2 & = 20 x^4 -130x^3 +464 x^2 -408 x -576 \\ 7x^2 -34 x -48 & = 0 \\ ( x -6 ) ( 7x +8 ) & = 0 \\ \end{align}\] \(x\) は \(0\) 以上の整数なので \[ x = 6 \] このとき, \(\sqrt{5} = 2.236 \cdots\) を用いて \[ r _{XY} = \dfrac{6 \sqrt{5}}{4 \sqrt{36}} = \dfrac{\sqrt{5}}{4} = 0.559 \cdots \] なので, 小数第 \(2\) 位を四捨五入して \[ r _{XY} = \underline{0.6} \]