\(xyz\) 空間において, 平面 \(y=z\) の中で
\[
|x| \leqq \dfrac{e^y +e^{-y}}{2} -1 , \quad 0 \leqq y \leqq \log a
\]
で与えられる図形 \(D\) を考える. ただし \(a\) は \(1\) より大きい定数とする.
この図形 \(D\) を \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を求めよ.
【 解 答 】
\(f(t) = \dfrac{e^t +e^{-t}}{2} -1\) とおく.
図形 \(D\) の平面 \(y = t \ \left( 0 \leqq t \leqq \log a \right)\) での切り口は下図のようになる.
これを \(y\) 軸のまわりに回転すると, ドーナツ型の領域を描き, 内側, 外側の円の半径をそれぞれ \(r _ t , R _ t\) とおけば \[\begin{align} {r _ t}^2 & = t^2 , \\ {R _ t}^2 & = t^2 +\left\{ f(t) \right\}^2 \end{align}\] したがって, 領域の面積 \(S(t)\) は \[ S(t) = \pi {R _ t}^2 -\pi {r _ t}^2 = \pi \left\{ f(t) \right\}^2 \] ここで \[\begin{align} \left\{ f(t) \right\}^2 & = \dfrac{\left( e^t +e^{-t} \right)^2}{4} -\left( e^t +e^{-t} \right) +1 \\ & = \dfrac{e^{2t}}{4} +\dfrac{e^{-2t}}{4} -e^t -e^{-t} +\dfrac{3}{2} \end{align}\] なので, 求める体積 \(V\) は \[\begin{align} V & = \pi \displaystyle\int _ {0}^{\log a} \left\{ f(t) \right\}^2 \, dt \\ & = \pi \left[ \dfrac{e^{2t}}{8} -\dfrac{e^{-2t}}{8} -e^t +e^{-t} +\dfrac{3t}{2} \right] _ {0}^{\log a} \\ & = \underline{\left( \dfrac{e^2 -e^{-2}}{8} +e -e^{-1} +\dfrac{3}{2} \log a \right) \pi} \end{align}\]