\(xy\) 平面上の \(6\) 個の点 \(( 0, 0 ) , ( 0, 1 ) , ( 1, 0 ) , ( 1, 1 ) , ( 2, 0 ) , ( 2, 1 )\) が図のように長さ \(1\) の線分で結ばれている. 動点 X は, これらの点の上を次の規則に従って \(1\) 秒ごとに移動する.
- 規則： 動点 X は, その時に位置する点から出る長さ \(1\) の線分によって結ばれる図の点のいずれかに, 等しい確率で移動する.
例えば, X が \(( 2, 0 )\) にいるときは, \(( 1, 0 ) , ( 2, 1 )\) のいずれかに \(\dfrac{1}{2}\) の確率で移動する. また X が \(( 1, 1 )\) にいるときは, \(( 0, 1 ) , ( 1, 0 ) , ( 2, 1 )\) のいずれかに \(\dfrac{1}{3}\) の確率で移動する.
時刻 \(0\) で動点 X が \(\text{O} = ( 0, 0 )\) から出発するとき, \(n\) 秒後に X の \(x\) 座標が \(0\) である確率を求めよ. ただし \(n\) は \(0\) 以上の整数とする.
【 解 答 】
\(n\) 秒後に X の \(x\) 座標が \(0 , 1 , 2\) である確率をそれぞれ \(a _ n , b _ n , c _ n\) とおく.
条件より
\[
a _ 0 = 1 , \ b _ 0 = c _ 0 = 0
\]
また
\[
a _ n +b _ n +c _ n = 1
\]
点の移動規則から, \(n\) 秒後の X の位置から \(n+1\) 秒後の X の位置への移動の確率を考えると
\[\begin{align}
a _ {n+1} & = \dfrac{1}{2} a _ n +\dfrac{1}{3} b _ n & ... [1] \\
b _ {n+1} & = \dfrac{1}{2} a _ n +\dfrac{1}{3} b _ n +\dfrac{1}{2} c _ n & ... [2] \\
c _ {n+1} & = \dfrac{1}{3} b _ n +\dfrac{1}{2} c _ n & ... [3]
\end{align}\]
\([1] -[3]\) より
\[
a _ {n+1} -c _ {n+1} = \dfrac{1}{2} ( a _ n -c _ n )
\]
したがって, 数列 \(\{ a _ n -c _ n \}\) は, 初項 \(a _ 0 -c _ 0 = 1\) , 公比 \(\dfrac{1}{2}\) の等比数列で
\[
a _ n -c _ n = \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \quad ... [4]
\]
また, \([2] +[4]\) より
\[\begin{align}
a _ {n+1} +c _ {n+1} & = \dfrac{1}{2} a _ n +\dfrac{2}{3} ( 1 -a _ n -c _ n ) +\dfrac{1}{2} c _ n \\
& = \dfrac{2}{3} -\dfrac{1}{6} ( a _ n -c _ n )
\end{align}\]
これを変形すると
\[
a _ {n+1} +c _ {n+1} -\dfrac{4}{7} = -\dfrac{1}{6} \left( a _ n +c _ n -\dfrac{4}{7} \right)
\]
したがって, 数列 \(\left\{ a _ n +c _ n -\dfrac{4}{7} \right\}\) は, 初項 \(a _ 0 +c _ 0 -\dfrac{4}{7} = \dfrac{3}{7}\) , 公比 \(-\dfrac{1}{6}\) の等比数列で
\[\begin{align}
a _ n +c _ n -\dfrac{4}{7} & = \dfrac{3}{7} \left( -\dfrac{1}{6} \right)^n \\
\text{∴} \quad a _ n +c _ n & = \dfrac{4}{7} +\dfrac{3}{7} \left( -\dfrac{1}{6} \right)^n \quad ... [5]
\end{align}\]
よって, \(( [4] +[5] ) \div 2\) より, 求める確率 \(a _ n\) は
\[
a _ n = \underline{\dfrac{2}{7} +\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n+1} +\dfrac{3}{14} \left( -\dfrac{1}{6} \right)^n}
\]