複素数を係数とする \(2\) 次式 \(f(x) = x^2 +ax +b\) に対し, 次の条件を考える.
(イ) \(f( x^3 )\) は \(f(x)\) で割り切れる.
(ロ) \(f(x)\) の係数 \(a , b\) の少なくとも一方は虚数である.
この \(2\) つの条件 (イ), (ロ) を同時に満たす \(2\) 次式をすべて求めよ.
【 解 答 】
\(2\) 次方程式 \(f(x) = 0\) の解を \(\alpha , \beta\) とおくと
\[
f( \alpha ) = 0 , \ f( \beta ) = 0 \quad ... [1]
\]
また, 解と係数の関係より
\[
a = -\alpha -\beta , \ b = \alpha \beta \quad ... [2]
\]
条件 (イ) より, \(f( x^3 )\) を \(f(x)\) で割った商を \(P(x)\) とおけば
\[
f( x^3 ) = f(x) P(x)
\]
これに, \(x = \alpha , \beta\) を代入すれば, [1] より
\[
\left\{ \begin{array}{l} f( \alpha^3 ) = f( \alpha ) P( \alpha ) = 0 \\ f( \beta^3 ) = f( \beta ) P( \beta ) = 0 \end{array} \right.
\]
したがって, \(\alpha^3 , \beta^3\) も \(f(x) = 0\) の解である.
\(f(x) = 0\) は高々 \(2\) つの解しかもたないから, \(\alpha^3 , \beta^3\) は \(\alpha , \beta\) のいずれかであり, 以下の \(3\) つの場合が考えられる.
1* \(( \alpha^3 , \beta^3 ) = ( \alpha , \alpha )\)
2* \(( \alpha^3 , \beta^3 ) = ( \alpha , \beta )\)
3* \(( \alpha^3 , \beta^3 ) = ( \beta , \alpha )\)
それぞれの場合について, 考える.
1* \(( \alpha^3 , \beta^3 ) = ( \alpha , \alpha )\) のとき
\(\alpha^3 = \alpha\) より \[\begin{align} \alpha ( \alpha +1 ) ( \alpha -1 ) & = 0 \\ \text{∴} \quad \alpha & = 0 , \pm 1 \end{align}\]\(\alpha = 0\) のとき
\(\beta^3 = 0\) より \(\beta = 0\) となり, [2] より, 条件 (ロ) を満たさず, 不適.\(\alpha = 1\) のとき
\(\beta^3 = 1\) より \[ \beta = 1 , \dfrac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2} \] [2] を用いて, 条件 (ロ) を満たすのは \[ ( a , b ) = \left( -\dfrac{1 \pm \sqrt{3} i}{2} , \dfrac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2} \right) \quad ( \ \text{複号同順} \ ) \]\(\alpha = -1\) のとき
\(\beta^3 = -1\) より \[ \beta = -1 , \dfrac{1 \pm \sqrt{3} i}{2} \] [2] を用いて, 条件 (ロ) を満たすのは \[ ( a , b ) = \left( -\dfrac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2} , -\dfrac{1 \pm \sqrt{3} i}{2} \right) \quad ( \ \text{複号同順} \ ) \]
2* \(( \alpha^3 , \beta^3 ) = ( \alpha , \beta )\) のとき
\(\alpha^3 = \alpha\) より \[ \alpha = 0 , \pm 1 \] \(\beta^3 = \beta\) より \[ \beta = 0 , \pm 1 \] いずれの組合せも, [2] より, 条件 (ロ) を満たさず, 不適.3* \(( \alpha^3 , \beta^3 ) = ( \beta , \alpha )\) のとき
\(\alpha = \beta^3 = \alpha^9\) より \[ \alpha = 0 , \pm 1 , \pm i , \dfrac{\pm 1 \pm i}{\sqrt{2}} \]\(\alpha = 0 , \pm 1\) のとき
\(\beta = 0 , \pm 1\) となり, [2] より, 条件 (ロ) を満たさず, 不適.\(\alpha = \pm i\) のとき
\[ \beta = \alpha^3 = \mp i \] したがって, [2] より \[ a = 0 , \ b = 1 \] これは, 条件 (ロ) を満たさず, 不適.\(\alpha = \dfrac{1 \pm i}{\sqrt{2}}\) のとき
\[ \beta = \alpha^3 = \dfrac{-1 \pm i}{\sqrt{2}} \] したがって, [2] より \[ a = \pm \sqrt{2} i , \ \beta = -1 \] これは, 条件 (ロ) を満たす.\(\alpha = \dfrac{-1 \pm i}{\sqrt{2}}\) のとき
\[ \beta = \alpha^3 = \dfrac{1 \pm i}{\sqrt{2}} \] したがって, [2] より \[ a = \pm \sqrt{2} i , \ \beta = -1 \] これは, 条件 (ロ) を満たす.
以上より, 求める \(f(x)\) は \[\begin{align} f(x) & = \underline{x^2 -\dfrac{1 \pm \sqrt{3} i}{2} x -\dfrac{1 \mp \sqrt{3} i}{2} , } \\ & \qquad \underline{x^2 +\dfrac{1 \pm \sqrt{3} i}{2} x -\dfrac{1 \mp \sqrt{3} i}{2} ,} \\ & \qquad \quad \underline{x^2 \pm \sqrt{2} i x -1 \quad ( \ \text{同式内は複号同順} \ )} \end{align}\]