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\(1\) 以上 \(6\) 以下の \(2\) つの整数 \(a , b\) に対し, 関数 \(f _ n (x) = \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) を次の条件 (ア), (イ), (ウ) で定める. \[ \begin{array}{lll} \text{(ア)} & f _ 1 (x) = \sin ( \pi x ) & \\ \text{(イ)} & f _ {2n} (x) = f _ {2n-1} \left( \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} -x \right) & ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \\ \text{(ウ)} & f _ {2n+1} (x) = f _ {2n} ( -x ) & ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \end{array} \] 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(a = 2\) , \(b = 3\) のとき, \(f _ 5 (0)\) を求めよ.

2. (2)　\(a = 2\) , \(b = 3\) のとき, \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{100} (-1)^k f _ {2k} (0)\) を求めよ.

3. (3)　\(1\) 個のさいころを \(2\) 回投げて, \(1\) 回目に出る目を \(a\) , \(2\) 回目に出る目を \(b\) とするとき, \(f _ 6 (0) = 0\) となる確率を求めよ.

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【 解 答 】

(1)

\(c = \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b}\) とおく.
自然数 \(n\) に対して \[ f _{2n} (x) = \sin ( cn -x ) \pi , \ f _{2n+1} (x) = \sin ( cn +x ) \pi \quad ... [ \text{＊} ] \] が成立することを帰納法を用いて示す.

1. 1*　\(n = 1\) のとき
   条件 (イ) (ウ) より \[\begin{align} f_2 (x) & = f_1 (c-x) = \sin (c-x) \pi \\ f_3 (x) & = f_2 (-x) = \sin (c+x) \pi \end{align}\] なので, [＊] が成立する.

2. 2*　\(n = k\) のとき, [＊] が成立する, すなわち \[ f _{2k} (x) = \sin ( ck -x ) \pi , \ f _{2k+1} (x) = \sin ( ck +x ) \pi \] と仮定すると, 条件 (イ) (ウ) より \[\begin{align} f _{2k+2} (x) & = f _{2k+1} (c-x) = \sin \{ c(k+1) -x \} \pi \\ f _{2k+3} (x) & = f _{2k+2} (-x) = \sin \{ c(k+1) +x \} \pi \end{align}\] なので, \(n = k+1\) のときも [＊] が成立する.

以上より, すべての自然数 \(n\) について, [＊] が成立することが示された.

\(c = \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}\) なので, [＊] より \[\begin{align} f_5 (0) & = \sin 2 \cdot \dfrac{5}{6} \pi \\ & = \sin \dfrac{5 \pi}{3} = \underline{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \end{align}\]

(2)

\(g(n) = (-1)^n f _{2n} (0)\) とおく.
\(c = \dfrac{5}{6}\) なので \[ g(n) = (-1)^n \sin \dfrac{5 n \pi}{6} \] ここで \[\begin{align} g (n+6) & = (-1)^{n+6} f _{2(n+6)} (0) \\ & = (-1)^n \sin \left( \dfrac{5n}{6} +5 \right) \pi \\ & = (-1)^{n+1} \sin \dfrac{5 n \pi}{6} = -g(n) \end{align}\] したがって \[ g (n+12) = g(n) \] また \[ \textstyle\sum\limits _{k=i}^{i+12} g(k) = 0 \] \(100 = 4 +8 \cdot 12\) なので, 求める和は \[\begin{align} \textstyle\sum\limits _{k=1}^{100} g(k) & = \textstyle\sum\limits _{k=1}^{4} g(k) \\ & = \sin \dfrac{5 \pi}{6} -\sin \dfrac{5 \pi}{3} +\sin \dfrac{5 \pi}{2} -\sin \dfrac{10 \pi}{3} \\ & = \dfrac{1}{2} -\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) +1 -\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \\ & = \underline{\dfrac{3}{2} +\sqrt{3}} \end{align}\]

(3)

[＊] より \[ f _6 (0) = \sin 3c \pi = 0 \] なので, 整数 \(m\) を用いて \[\begin{align} 3c & = m \\ 3 \left( \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} \right) & = m \\ \text{∴} \quad 3 (a+b) & = mab \end{align}\] \(a , b\) は \(1\) から \(6\) の整数なので, これを満たす \((a,b)\) の組は \[ (1,1) , (1,3) , (2,2) , (2,6) , (3,1) , (3,3) , (6,2) , (6,6) \] の \(8\) 組のみ.
よって, 求める確率は \[ \dfrac{8}{6^2} = \underline{\dfrac{2}{9}} \]