\(a , b\) を \(ab \lt 1\) をみたす正の実数とする.
\(xy\) 平面上の点 P \(( a , b )\) から, 曲線 \(y = \dfrac{1}{x} \ ( x \gt 0 )\) に \(2\) 本の接線を引き,
その接点を Q \(\left( s , \dfrac{1}{s} \right)\) , R \(\left( t , \dfrac{1}{t} \right)\) とする.
ただし, \(s \lt t\) とする.
(1) \(s\) および \(t\) を \(a , b\) を用いて表せ.
(2) 点 P \(( a , b)\) が曲線 \(y = \dfrac{9}{4} -3 x^2\) 上の \(x \gt 0\) , \(y \gt 0\) をみたす部分を動くとき, \(\dfrac{t}{s}\) の最小値とそのときの \(a , b\) の値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(y = \dfrac{1}{x}\) より, \(y' = -\dfrac{1}{x^2}\) なので, 点 \(\left( p , \dfrac{1}{p} \right)\) における接線の式は
\[\begin{align}
y & = -\dfrac{1}{p^2} (x-p) +\dfrac{1}{p} \\
& = -\dfrac{x}{p^2} +\dfrac{2}{p}
\end{align}\]
これが点 P を通るので
\[\begin{align}
b = -\dfrac{a}{p^2} +\dfrac{2}{p} & \\
\text{∴} \quad b p^2 -2p +a & = 0 \quad ... [1]
\end{align}\]
[1] の判別式 \(D\) について
\[
\dfrac{D}{4} = 1 -ab \gt 0
\]
なので, [1] の \(2\) つの実数解が \(s , t\) である.
よって, \(s \lt t\) なので
\[
s = \underline{\dfrac{1 -\sqrt{1 -ab}}{b}} \ , \ t = \underline{\dfrac{1 +\sqrt{1 -ab}}{b}}
\]
(2)
(1) の結果より
\[\begin{align}
\dfrac{t}{s} & = \dfrac{1 +\sqrt{1 -ab}}{1 -\sqrt{1 -ab}} \\
& = -1 +\dfrac{2}{1 -\sqrt{1 -ab}}
\end{align}\]
したがって, \(\dfrac{t}{s}\) が最小となるのは, \(ab\) が最大となるとき.
条件より, \(a\) のとりうる値の範囲は \(0 \lt a \lt \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) であり
\[
ab = a \left( \dfrac{9}{4} -3 a^2 \right) = \dfrac{9a}{4} -3 a^3
\]
これを \(f(a)\) とおくと
\[
f'(a) = \dfrac{9}{4} -9a^2 = \dfrac{9}{4} ( 1 -4a^2 )
\]
したがって, \(f(a)\) の増減は下表のとおり.
\[
\begin{array}{c|ccccc} a & (0) & \cdots & \dfrac{1}{2} & \cdots & \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \\ \hline f'(a) & & + & 0 & - & \\ \hline f(a) & (0) & \nearrow & \dfrac{3}{4} & \searrow & (0) \end{array}
\]
\(ab = \dfrac{3}{4} \lt 1\) なので, \(s , t\) も存在する.
よって, \(a = \underline{\dfrac{1}{2}}\) , \(b = \underline{\dfrac{3}{2}}\) のとき, \(\dfrac{t}{s}\) の最小値は
\[
-1 +\dfrac{2}{1 -\sqrt{\dfrac{1}{4}}} = \underline{3}
\]