空間内に, 同一平面上にない \(4\) 点 O, A, B, C がある. \(s , t \) を \(0 \lt s \lt 1\) , \(0 \lt t \lt 1\) をみたす実数とする. 線分 OA を \(1 : 1\) に内分する点を \(\text{A} {} _0\) , 線分 OB を \(1 : 2\) に内分する点を \(\text{B} {} _0\) , 線分 AC を \(s : (1-s)\) に内分する点を P , 線分 BC を \(t : (1-t)\) に内分する点を Q とする. さらに \(4\) 点 \(\text{A} _0 , \text{B} {} _0 , \text{P} , \text{Q}\) が同一平面上にあるとする.
(1) \(t\) を \(s\) を用いて表せ.
(2) \(\left| \overrightarrow{\text{OA}} \right| = 1\) , \(\left| \overrightarrow{\text{OB}} \right| = \left| \overrightarrow{\text{OC}} \right| = 2\) , \(\angle \text{AOB} = 120^\circ\) , \(\angle \text{BOC} = 90^\circ\) , \(\angle \text{COA} = 60^\circ\) , \(\angle \text{POQ} = 90^\circ\) であるとき, \(s\) の値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{\text{OA}}\) , \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{\text{OB}}\) , \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{\text{OC}}\) とおく.
\[\begin{align}
\overrightarrow{\text{OA}{} _ 0} & = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{a} \ , \ \overrightarrow{\text{OB}{} _ 0} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{b} \ , \\
\overrightarrow{\text{OP}} & = (1-s) \overrightarrow{a} +s \overrightarrow{c}\ , \\
\overrightarrow{\text{OQ}} & = (1-t) \overrightarrow{a} +t \overrightarrow{c}
\end{align}\]
\(4\) 点が同一平面上にあるので, \(\alpha , \beta\) を用いて
\[\begin{align}
\overrightarrow{\text{OQ}} & = \alpha \overrightarrow{\text{OP}} +\beta \overrightarrow{\text{OA}{} _ 0} +( 1 -\alpha -\beta ) \overrightarrow{\text{OB}{} _ 0} \\
& = \left\{ \alpha (1-s) +\dfrac{\beta}{2} \right\}\overrightarrow{a} +\dfrac{1 -\alpha -\beta}{3} \overrightarrow{b} +\alpha s \overrightarrow{c}
\end{align}\]
と表せる.
\(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} , \overrightarrow{c}\) は一次独立なので
\[
\left\{ \begin{array}{ll} \alpha (1-s) +\dfrac{\beta}{2} = 0 & ... [1] \\ \dfrac{1 -\alpha -\beta}{3} = 1-t & ... [2] \\ \alpha s = t & ... [3] \end{array} \right.
\]
[3] より, \(\alpha = \dfrac{t}{s}\) , [2] より
\[
\beta = 1 -\dfrac{t}{s} -3(1-t) = 3t -\dfrac{t}{s} -2
\]
これらを [1] に代入して
\[\begin{align}
\dfrac{t}{s} (1-s) +\dfrac{3t}{2} -\dfrac{t}{2s} -1 & = 0 \\
2t -2ts +3ts -t -2s & = 0 \\
t (1+s) & = 2s \\
\text{∴} \quad t = \underline{\dfrac{2s}{s+1}} &
\end{align}\]
(2)
条件より \[\begin{align} & \left| \overrightarrow{a} \right| = 1 \ , \ \left| \overrightarrow{b} \right| = \left| \overrightarrow{c} \right| = 2 \ , \\ & \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \cdot 2 \cdot \cos 120^{\circ} = -1 \ , \\ & \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 0 \ , \\ & \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = 2 \cdot 1 \cdot \cos 60^{\circ} = 1 \end{align}\] \(\text{OP} \perp \text{OQ}\) なので \[\begin{align} \overrightarrow{\text{OP}} \cdot \overrightarrow{\text{OQ}} & = \left\{ (1-s) \overrightarrow{a} +s \overrightarrow{c} \right\} \cdot \left\{ (1-t) \overrightarrow{b} +t \overrightarrow{c} \right\} \\ & = -(1-s) (1-t) +(1-s) t +4st \\ & = 2 (s+1) t +s -1 = 0 \end{align}\] (1) の結果を代入して \[\begin{align} 2 (s+1) \cdot \dfrac{2s}{s+1} +s -1 & = 0 \\ 5s -1 & = 0 \\ \text{∴} \quad s & = \underline{\dfrac{1}{5}} \end{align}\] これは \(0 \lt s \lt 1\) をみたし, このとき \(b = \dfrac{\frac{2}{5}}{\frac{1}{5} +1} = \dfrac{1}{3}\) で \(0 \lt b \lt 1\) もみたしている.