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\(n\) を 自然数とし, \(t\) を \(t \geqq 1\) をみたす実数とする.

1. (1)　\(x \geqq t\) のとき, 不等式 \[ -\dfrac{(x-t)^2}{2} \leqq \log x -\log t -\dfrac{1}{t} (x-t) \leqq 0 \] が成り立つことを示せ.

2. (2)　不等式 \[ -\dfrac{1}{6 n^3} \leqq \displaystyle\int_{t}^{t +\frac{1}{n}} \log x \, dx -\dfrac{1}{n} \log t -\dfrac{1}{2t n^2} \leqq 0 \] が成り立つことを示せ.

3. (3)　\(a_n = \textstyle\sum\limits_{k=0}^{n-1} \log \left( 1 +\dfrac{k}{n} \right)\) とおく. \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} ( a_n -pn ) = q\) をみたすような実数 \(p , q\) の値を求めよ.

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【 解 答 】

(1)

\(u = \dfrac{x}{t}\) とおくと, \(u \geqq 1\) .
これを用いて, 示したい不等式を変形すると \[ -\dfrac{t^2 (u-1)^2}{2} \leqq \log u -u +1 \leqq 0 \quad ... [ \text{A} ] \] なので, これを示せばよい.
\(f(u) = \log u -u +1\) とおくと \[ f'(u) = \dfrac{1}{u} -1 \leqq 0 \quad ( \ \text{∵} \ u \geqq 1 \ ) \] ゆえに \(f(u)\) は単調減少するので \[ f(u) \leqq f(1) = 0 +1 -1 = 0 \quad ... [1] \] \(g(u) = \dfrac{t^2 (u-1)^2}{2} +\log u -u +1\) とおくと \[\begin{align} g'(u) & = t^2 (u-1) +\dfrac{1}{u} -1 \ , \\ g''(u) & = t^2 -\dfrac{1}{u^2} \\ & = \dfrac{(tu)^2 -1}{u^2} \geqq 0 \quad ( \ \text{∵} \ t \geqq 1 , u \geqq 1 \ ) \end{align}\] ゆえに \(g'(x)\) は単調増加し \[ g'(x) \geqq g'(1) = 0 +1 -1 = 0 \] さらに \(g(x)\) も単調増加し \[ g(x) \geqq g(1) = 0 +0 +1 -1 = 0 \quad ... [2] \] よって, [1] [2] より [A] が示されて, 題意も示された.

(2)

(1) で示した式の各辺を \(x\) について \(t \rightarrow t +\dfrac{1}{n}\) で積分する.
各項について \[\begin{align} \displaystyle\int _ {t}^{t +\frac{1}{n}} \dfrac{(x-t)^2}{2} \, dx & = \left[ \dfrac{(x-t)^3}{6} \right] _ {t}^{t +\frac{1}{n}} = \dfrac{1}{6n^3} \\ \displaystyle\int _ {t}^{t +\frac{1}{n}} \log t \, dx & = \dfrac{1}{n} \log t \\ \displaystyle\int _ {t}^{t +\frac{1}{n}} \dfrac{1}{t} (x-t) \, dx & = \left[ \dfrac{(x-t)^2}{2t} \right] _ {t}^{t +\frac{1}{n}} = \dfrac{1}{2n^2} \end{align}\] よって \[ -\dfrac{1}{6 n^3} \leqq \displaystyle\int_{t}^{t +\frac{1}{n}} \log x \, dx -\dfrac{1}{n} \log t -\dfrac{1}{2t n^2} \leqq 0 \]

(3)

(2) で示した式に, \(t = 1 , 1+\dfrac{1}{n} , \cdots , 1 +\dfrac{n-1}{n}\) を代入してできる \(n\) 個の不等式を辺々加えて, \(n\) 倍すると \[\begin{gather} -\dfrac{1}{6n} \leqq n \displaystyle\int _ {1}^{2} \log x \, dx -a_n -\dfrac{1}{2n} \textstyle\sum\limits _ {k=0}^{n-1} \dfrac{1}{1 +\dfrac{k}{n}} \leqq 0 \\ \text{∴} \quad -\dfrac{1}{2n} \textstyle\sum\limits _ {k=0}^{n-1} \dfrac{1}{1 +\dfrac{k}{n}} \leqq a_n -n \underline{\displaystyle\int _ {1}^{2} \log x \, dx} _ {[3]} \leqq -\dfrac{1}{2n} \textstyle\sum\limits _ {k=0}^{n-1} \dfrac{1}{1 +\dfrac{k}{n}} +\dfrac{1}{6n} \quad ... [4] \end{gather}\] ここで \[ [3] = \left[ x \log x -x \right] _ {1}^{2} = 2 \log 2 -1 \] [4] において \(n \rightarrow \infty\) とすれば \[\begin{align} ( \text{第 1 辺} ) & \longrightarrow -\dfrac{1}{2} \displaystyle\int _ {0}^{1} \dfrac{1}{1+x} \, dx \\ & = -\dfrac{1}{2} \left[ \log (1+x) \right] _ {0}^{1} = -\dfrac{1}{2} \log 2 \ , \\ ( \text{第 3 辺} ) & \longrightarrow -\dfrac{1}{2} \log 2 \end{align}\] なので, はさみうちの原理より \[ ( \text{第 2 辺} ) = a_n -( 2 \log 2 -1 ) n \longrightarrow -\dfrac{1}{2} \log 2 \] よって \[ p = \underline{2 \log 2 -1} \ , \ q = \underline{-\dfrac{1}{2} \log 2} \]