整数 \(a , b , c\) に関する次の条件 (＊) を考える. \[ \displaystyle\int_{a}^{c} ( x^2 +bx ) \, dx = \displaystyle\int_{b}^{c} ( x^2 +ax ) \, dx \quad \cdots ( \text{＊} ) \]
(1) 整数 \(a , b, c\) が (＊) および \(a \neq b\) をみたすとき, \(c\) は \(3\) の倍数であることを示せ.
(2) \(c = 3600\) のとき, (＊) および \(a \lt b\) をみたす整数の組 \(( a , b)\) の個数を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align}
& \displaystyle\int _ {a}^{c} ( x^2 +bx ) \, dx = \left[ \dfrac{x^3}{3} +\dfrac{b x^2}{2} \right] _ {a}^{c} \\
& \qquad = \dfrac{c^3}{3} +\dfrac{b c^2}{2} -\dfrac{a^3}{3} -\dfrac{a^2 b}{2} \ , \\
& \displaystyle\int _ {b}^{c} ( x^2 +ax ) \, dx = \left[ \dfrac{x^3}{3} +\dfrac{a x^2}{2} \right] _ {b}^{c} \\
& \qquad = \dfrac{c^3}{3} +\dfrac{a c^2}{2} -\dfrac{b^3}{3} -\dfrac{a b^2}{2}
\end{align}\]
なので, (＊) より
\[\begin{align}
3b c^2 -2 a^3 -3a^2 b = 3a c^2 -2 b^3 & -3a b^2 \\
(b-a) \left\{ 3c^2 +2 ( a^2 +ab +b^2 ) +3ab \right\} & = 0 \\
3 c^2 +2 a^2 +5ab +2 b^2 & = 0 \quad ( \ \text{∵} \ a \neq b \ ) \\
\text{∴} \quad ( 2a +b ) ( b +2a ) & = -3c^2 \quad ... [1]
\end{align}\]
したがって, 右辺は \(3\) の倍数なので, 左辺も \(3\) の倍数である.
[1] は \(a . b\) について対称なので, \(2a +b = 3m \ ( m \text{は整数})\) と考えてよい.
このとき
\[
a +2b = 3 (a+b) -3m = 3( a +b -m )
\]
なので, [1] の左辺は \(9\) の倍数であり, よって \(c\) は \(3\) の倍数である.
(2)
(1) の経過から \(2a+b = 3m \ , \ a+2b = 3n \ ( m , n \text{は整数} )\) とおくことができる.
これをとくと
\[
a = 2m -n \ , \ b = 2n -m \quad ... [2]
\]
なので, \(a , b\) はともに整数となる.
また, \(-3 c^2 \lt 0\) なので \(m\) と\(n\) は異符号で, \(m \lt 0 \lt n\) とすれば, [2] より \(a \lt 0 \lt b\) となる.
したがって, 求める個数は, \(3c^2\) を \(2\) つの因数 \(-3m\) と \(3n\) に分ける方法に等しい.
\(c = 3600 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2\) のとき, \(3c^2 = 2^8 \cdot 3^5 \cdot 5^4\) であり,
素因数 \(2 , 3, 5\) の分け方がそれぞれ \(9 , 4 , 5\) 通りずつあるので, 求める個数は
\[
9 \cdot 4 \cdot 5 = \underline{180}
\]