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次の問いに答えよ.

1. (1)　\(a\) を実数とする. \(x\) についての方程式 \(x -\tan x = a\) の実数解のうち, \(|x| \lt \dfrac{\pi}{2}\) をみたすものがちょうど\(1\) つあることを示せ.

2. (2)　自然数 \(n\) に対し, \(x -\tan x = n \pi\) かつ \(|x| \lt \dfrac{\pi}{2}\) をみたす実数 \(x\) を \(x_n\) とおく. このとき, 曲線 \(C : y = \sin x\) 上の点 P \(( t , \sin t)\) における接線が, 不等式 \(x \geqq \dfrac{\pi}{2}\) の表す領域に含まれる点においても曲線 \(C\) と接するための必要十分条件は, \(t\) が \(x_1 , x_2 , x_3 , \cdots\) のいずれかと等しいことであることを示せ.

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【 解 答 】

(1)

\(f(x) = x -\tan x\) とおくと \[ f'(x) = 1 -\dfrac{1}{\cos^2 x} = -\tan^2 x \leqq 0 \] ゆえに, \(f(x)\) は単調減少し, さらに \[ \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}} f(x) = \infty \ , \ \displaystyle\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} f(x) = -\infty \] なので, \(f(x) = a\) をみたす実数解がただ \(1\) つ存在する.

(2)

(1) の結果より, \(f(x) = n \pi\) をみたす実数解 \(x_n\) がただ \(1\) つ存在する.
\(C\) の式より, \(y' = \cos x\) なので, P における接線の式は \[ y = (x-t) \cos t +\sin t = x \cos t -t \cos t +\sin t \] これが点 \(( p , \sin p ) \ \left( p \geqq \dfrac{\pi}{2} \right)\) の接線にもなるのは \[ \left\{ \begin{array}{ll} \cos p = \cos t & ... [1] \\ -p \cos p +\sin p = -t \cos t +\sin t & ... [2] \end{array} \right. \] が成立するとき.
[1] より \[ p = 2n \pi \pm t \quad ( \ n \text{は正の整数} \ ) \]

1. 1*　\(p = 2n \pi +t\) のとき
   [2] に代入すると \[\begin{align} -( 2n \pi +t ) \cos t +\sin t & = -t \cos t +\sin t \\ 2n \pi \cos t & = 0 \end{align}\] \(\cos t \neq 0\) なので, これをみたす \(t\) は存在しない.

2. 2*　\(p = 2n \pi -t\) のとき
   [2] に代入すると \[\begin{align} -( 2n \pi -t ) \cos t -\sin t & = -t \cos t +\sin t \\ 2 (n \pi -t ) \cos t & = 2 \sin t \\ t -\tan t & = n \pi \quad \quad ( \text{∵} \ \cos t \neq 0 \ )\\ \text{∴} \quad t & = x_n \end{align}\]

1* 2* より, [1] [2] が成立するならば, \(t = x_n\) .
逆に, \(t = x_n\) ならば, \(p = 2n \pi -x _ n \geqq \dfrac{\pi}{2}\) が [1] [2] をみたす.
よって, 題意は示された.