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【 解 答 】

\(t \gt 0\) において, (＊) を変形すると \[\begin{align} e^t -1 & \geqq t e^{\frac{t}{a}} \\ \text{∴} \quad e^t -t e^{\frac{t}{a}} -1 & \geqq 0 \quad ... [ \text{A} ] \end{align}\] したがって, (＊) が成立することを示すには, [A] が成立することを示せばよい.
[A] の左辺を \(f(t)\) とおくと \[ f(0) = 1 -0 -1 = 0 \] なので \[ f(t) \ \text{が} \ t \gt 0 \ \text{において, 単調増加である} \quad ... [ \text{B} ] \] であれば, [A] が成立する. \[\begin{align} f'(t) & = e^t -e^{\frac{t}{a}} -\dfrac{t}{a} e^{\frac{t}{a}} \\ & = e^{\frac{t}{a}} \underline{\left( e^{\frac{(a-1) t}{a}} -\dfrac{t}{a} -1 \right)} _ {[1]} \end{align}\] 下線部 [1] を \(g(t)\) とおくと, \(e^{\frac{t}{a}} \gt 0\) なので, \(f'(t)\) と \(g(t)\) の正負は一致する. \[ g(0) = 1 -0 -1 = 0 \] したがって \[ g(t) \ \text{が} \ t \gt 0 \ \text{において, 単調増加である} \quad ... [ \text{C} ] \] であれば, [B] が成立する. \[\begin{align} g'(t) & = \dfrac{a-1}{a} e^{\frac{(a-1) t}{a}} -\dfrac{1}{a} \\ & = \dfrac{1}{a} \left\{ (a-1) e^{\frac{(a-1) t}{a}} -1 \right\} \end{align}\]

(1)

\(a = 2\) のとき \[ g'(t) = \dfrac{1}{2} \left( e^{\frac{t}{2}} -1 \right) \geqq 0 \] よって, [C] が成立するので, (＊) も成立することが示された.

(2)

\(a\) の値で場合分けして考える.

1. 1*　\(a \geqq 2\) のとき
   \(a-1 \geqq 1\) なので \[ g'(t) = \dfrac{1}{a} \left\{ (a-1) e^{\frac{(a-1) t}{a}} -1 \right\} \geqq 0 \] したがって, [C] が成立し, (＊) も成立する.

2. 2*　\(1 \lt a \lt 2\) のとき
   \(g'(t) = 0\) をとくと \[\begin{align} e^{\frac{(a-1) t}{a}} & = \dfrac{1}{a-1} \\ \dfrac{a-1}{a} t & = \log \dfrac{1}{a-1} \\ \text{∴} \quad t & = \dfrac{a}{a-1} \log \dfrac{1}{a-1} \end{align}\] \(\alpha = \dfrac{a}{a-1} \log \dfrac{1}{a-1}\) とおけば, \(g(t)\) の増減は下表のとおり. \[ \begin{array}{c|ccccc} t & (0) & \cdots & \alpha & \cdots & ( \infty ) \\ \hline g'(t) & & - & 0 & + & \\ \hline g(t) & ( 0 ) & \searrow & \text{最小} & \nearrow & ( \infty ) \\ \end{array} \] したがって, \(g( \beta ) = 0 \quad ( \alpha \lt \beta )\) をみたす実数 \(\beta\) が存在する.
   このとき \[ f'( \beta ) = 0 \] なので, \(f(t)\) の増減は下表のとおり. \[ \begin{array}{c|cccc} t & (0) & \cdots & \beta & \cdots \\ \hline f'(t) & & - & 0 & + \\ \hline f(t) & ( 0 ) & \searrow & \text{最小} & \nearrow \\ \end{array} \] ゆえに, \(t \gt 0\) において, [A] は成立せず, (＊) も成立しない.

1* 2*より, 求める \(a\) の値の範囲は \[ \underline{a \geqq 2} \]

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【 解 答 】

A \(( 0 , 1 )\) , B \(( 0 , -1 )\) , C \(( 1 , 0 )\) , D \(( -1 , 0 )\) とおく. \[\begin{align} A \left( \begin{array}{c} 0 \\ \pm 1 \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ \pm 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \pm 1 \\ 0 \end{array} \right) \\ B \left( \begin{array}{c} 0 \\ \pm 1 \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ \pm 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \mp 1 \\ 0 \end{array} \right) \\ C \left( \begin{array}{c} 0 \\ \pm 1 \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ \pm 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ \pm 1 \end{array} \right) \end{align}\] また \[\begin{align} A \left( \begin{array}{c} \pm 1 \\ 0 \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \pm 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ \mp 1 \end{array} \right) \\ B \left( \begin{array}{c} \pm 1 \\ 0 \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \pm 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ \pm 1 \end{array} \right) \\ C \left( \begin{array}{c} \pm 1 \\ 0 \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \pm 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \mp 1 \\ 0 \end{array} \right) \end{align}\] したがって, さいころを振ると点 R は, 点 A ～ D 間を移動し, それぞれの点から移動する確率は下図の通りとなる.

(1)

はじめ, 点 R は点 A にあるので \[ p _ 1 = \underline{\dfrac{1}{3}} , \quad q _ 1 = \underline{0} \] また \[\begin{align} p _ 2 & = 3 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \underline{\dfrac{1}{3}} \\ q _ 2 & = 2 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \underline{\dfrac{2}{9}} \end{align}\]

(2)

\(n\) 回操作後に, 点 R が点 C, D にある確率をそれぞれ \(r _ n , s _ n\) とおくと \[ p _ n +q _ n +r _ n +s _ n = 1 \quad ... [1] \] 上に書いた状態遷移より \[\begin{align} p _ n & = \dfrac{1}{3} p _ {n-1} +\dfrac{1}{3} r _ {n-1} +\dfrac{1}{3} s _ {n-1} \\ & = \dfrac{1}{3} p _ {n-1} +\dfrac{1}{3} \left( 1 -p _ {n-1} -q _ {n-1} \right) \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ ) \\ & = \dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{3} q _ {n-1} \quad ... [2] \\ q _ n & = \dfrac{1}{3} q _ {n-1} +\dfrac{1}{3} r _ {n-1} +\dfrac{1}{3} s _ {n-1} \\ & = \dfrac{1}{3} q _ {n-1} +\dfrac{1}{3} \left( 1 -p _ {n-1} -q _ {n-1} \right) \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ ) \\ & = \dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{3} p _ {n-1} \quad ... [3] \end{align}\] よって, [2] [3] の辺々を加減すれば \[ \underline{p _ n +q _ n = \dfrac{2}{3} -\dfrac{1}{3} \left( p _ {n-1} +q _ {n-1} \right)} \quad ... [4] \\ \underline{p _ n -q _ n = \dfrac{1}{3} \left( p _ {n-1} -q _ {n-1} \right)} \quad ... [5] \]

(3)

[4] を変形すると \[ p _ n + q _ n -\dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{3} \left( p _ {n-1} +q _ {n-1} -\dfrac{1}{2} \right) \] なので, 数列 \(\left\{ p _ n +q _ n -\dfrac{1}{2} \right\}\) は, 初項 \(p _ 0 +q _ 0 -\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\) , 公比 \(-\dfrac{1}{3}\) の等比数列, すなわち \[ p _ n +q _ n -\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \left( -\dfrac{1}{3} \right)^n \\ \text{∴} \quad p _ n +q _ n = \dfrac{1}{2} \left( -\dfrac{1}{3} \right)^n +\dfrac{1}{2} \quad ... [6] \] また, [5] より, 数列 \(\left\{ p _ n -q _ n \right\}\) は, 初項 \(p _ 0 -q _ 0 = 1\) , 公比 \(\dfrac{1}{3}\) の等比数列, すなわち \[ p _ n -q _ n = \left( \dfrac{1}{3} \right)^n \quad ... [7] \] よって, [6] [7] を辺々加えて, \(\dfrac{1}{2}\) 倍すれば \[ p _ n = \underline{\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{3} \right)^n +\dfrac{1}{4} \left( -\dfrac{1}{3} \right)^n +\dfrac{1}{4}} \]

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【 解 答 】

(1)

Q \(( X , Y )\) とおくと \[\begin{align} \left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} \cos 45^{\circ} & -\sin 45^{\circ} \\ \sin 45^{\circ} & \cos 45^{\circ} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} t \\ s \end{array} \right) \\ & = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} t \\ \sqrt{2} t^2 -2t \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{c} -t^2 +\dfrac{3 \sqrt{2} t}{2} \\ t^2 -\dfrac{\sqrt{2} t}{2} \end{array} \right) \end{align}\] よって, 点 Q の座標は \[ \underline{\left( -t^2 +\dfrac{3 \sqrt{2} t}{2} , \ t^2 -\dfrac{\sqrt{2} t}{2} \right)} \]

(2)

\(t\) に関する \(2\) 次方程式 \(Y=a\) が \(1\) つだけもつ条件を求めればよい. \[\begin{align} t^2 -\dfrac{\sqrt{2} t}{2} & = a \\ \sqrt{2} t^2 -t -\sqrt{2} a & = 0 \end{align}\] この方程式の判別式を \(D\) とすれば, 求める条件は \[ D = 1^2 -4 \cdot \sqrt{2} \left( -\sqrt{2} a \right) = 0 \\ \text{∴} \quad a = \underline{-\dfrac{1}{8}} \]

(3)

\(D\) と \(x\) 軸が交わるときの \(t\) の値を求めると \[\begin{align} t^2 -\dfrac{\sqrt{2} t}{2} & = 0 \\ t \left( \sqrt{2} t -1 \right) & = 0 \\ \text{∴} \quad t = 0 , & \ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{align}\] \(t = 0\) のとき, \(X = 0\) . \(t = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) のとき, \(X = 1\) .
また \[ \dfrac{dX}{dt} = -2t +\dfrac{3 \sqrt{2}}{2} \]

回転させる領域が \(y \lt 0\) にあることに注意すれば, 求める体積 \(V\) は \[\begin{align} V & = \displaystyle\int _ {0}^{1} 2 \pi X (-Y) \, dX \\ & = 2 \pi \displaystyle\int _ {0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left( -t^2 +\dfrac{3 \sqrt{2} t}{2} \right) \left( -t^2 +\dfrac{\sqrt{2} t}{2} \right) \left( -2t +\dfrac{3 \sqrt{2}}{2} \right) \, dt \\ & = \dfrac{\sqrt{2} \pi}{2} \displaystyle\int _ {0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} t^2 \left( -\sqrt{2} t +3 \right) \left( -\sqrt{2} t +1 \right) \left( -2 \sqrt{2} t +3 \right) \, dt \\ & = \dfrac{\sqrt{2} \pi}{2} \displaystyle\int _ {0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left( -4 \sqrt{2} t^5 +22 t^4 -18 \sqrt{2} t^3 +9 t^2 \right) \, dt \\ & = \dfrac{\sqrt{2} \pi}{2} \left[ -\dfrac{2 \sqrt{2} t^6}{3} +\dfrac{22 t^5}{5} -\dfrac{18 \sqrt{2} t^4}{4} +3 t^3 \right] _ {0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ & = \pi \left( -\dfrac{1}{12} +\dfrac{11}{20} -\dfrac{9}{8} +\dfrac{3}{4} \right) \\ & = \underline{\dfrac{11 \pi}{120}} \end{align}\]

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【 解 答 】

(1)

解と係数の関係より \[ \alpha +\beta = 3 , \ \alpha \beta = 5 \] これを用いて, すべての自然数 \(n\) について

1. [P] ... 「 \({\alpha}^n +{\beta}^2 -3^n\) が \(5\) の整数倍である. 」

が成立することを, 数学的帰納法で示す.

1. 1*　\(n=1\) のとき \[ \alpha +\beta -3 = 3-3 = 0 \] ゆえに, \(n=1\) のとき [P] は成立する.

2. 2*　\(n=2\) のとき \[\begin{align} {\alpha}^2 +{\beta}^2 -3^2 & = ( \alpha +\beta )^2 -2 \alpha \beta -9 \\ & = 3^2 -2 \cdot 5 -9 = -10 \end{align}\] ゆえに, \(n=2\) のとき [P] は成立する.

3. 3*　\(n = k , k+1 \ ( k \geqq 1 )\) のときに [P] が成立する, すなわち, 整数 \(L , M\) を用いて \[\begin{align} {\alpha}^k +{\beta}^k -3^k & = 5L \\ {\alpha}^{k+1} +{\beta}^{k+1} -3^{k+1} & = 5M \end{align}\] と表せると仮定する.
   このとき \[\begin{align} {\alpha}^{k+2} & +{\beta}^{k+2} -3^{k+2} \\ & = ( \alpha +\beta ) \left( {\alpha}^{k+1} +{\beta}^{k+1} \right) -\alpha \beta \left( {\alpha}^k +{\beta}^k \right) -3^{k+2} \\ & = 3 \left( 5M +3^{k+1} \right) -5 \left( 5L +3^k \right) -3^{k+2} \\ & = 5 \left( 3M -5L -3^k \right) \end{align}\] ゆえに, \(n = k+2\) のときも [P] が成立する.

以上より, すべての自然数 \(n\) について, [P] が成立することが示された.

(2)

さいころの目の出方は全部で \(6^6\) 通りある.
\(4\) 種類の目を A, B, C, D とおくと, \(6\) 個のさいころの目が

1. 1*　A が \(3\) 個, B, C, D が \(1\) 個ずつ

2. 2*　A, B が \(2\) 個ずつ, C, D が \(1\) 個ずつ

の \(2\) 通りの場合が考えられる.
それぞれが起こる確率を求める.

1. 1* の場合
   「 \(4\) 種類の目の選び方」と「選んだ目の \(6\) 個のさいころへの割当て方」に分けて考えると

   • A の選び方が \(6\) 通り, B ～ D （区別しない）の選び方が \({} _ 5 \text{C} {} _ 3 = 10\) 通り
   • A が出るさいころの割当て方が \({} _ 6 \text{C} {} _ 3= 20\) 通り, B ～ D の割当て方が \(3! = 6\) 通り
   したがって, 1* が生じる確率は \[ \dfrac{6 \cdot 10 \cdot 20 \cdot 6}{6^6} = \dfrac{200}{6^4} \]

2. 2* の場合
   1* と同様に考えると

   • A, B （区別しない）の選び方が \({} _ 6 \text{C} {} _ 2 = 15\) 通り, C, D （区別しない）の選び方が \({} _ 4 \text{C} {} _ 2 = 6\) 通り
   • A が出るさいころの割当て方が \({} _ 6 \text{C} {} _ 2= 15\) 通り, B が出るさいころの割当て方が \({} _ 4 \text{C} {} _ 2= 6\) 通り, C, D の割当て方が \(2\) 通り
   したがって, 2* が生じる確率は \[ \dfrac{15 \cdot 6 \cdot 15 \cdot 6 \cdot 2}{6^6} = \dfrac{450}{6^4} \]

よって, 求める確率は \[ \dfrac{200 +450}{6^4} = \underline{\dfrac{325}{648}} \]

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【 解 答 】

(1)

\(B = \left( \begin{array}{cc} p & q \\ r & s \end{array} \right)\) とおくと \[ \mathit{\Delta} (B) = ps -qr \] また \[\begin{align} AB & = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} p & q \\ r & s \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{cc} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{array} \right) \end{align}\] したがって \[\begin{align} \mathit{\Delta} (AB) & = (ap+br) (cq+ds) -(aq+bs) (cp+dr) \\ & = adps +bcrs -adqr -bcps \\ & = (ad-bc)(ps-qr) \\ & = \mathit{\Delta} (A) \mathit{\Delta} (B) \end{align}\] よって \[ \mathit{\Delta} (AB) = \mathit{\Delta} (A) \mathit{\Delta} (B) \]

(2)

(1) の結果を用いれば, \(A^5 = E \quad ... [1]\) より \[ x^5 = 1 \] \(A\) の成分がすべて実数なので, \(x\) も実数だから \[ x = \underline{1} \] したがって, ケーリー・ハミルトンの定理より \[\begin{align} A^2-yA+E & = O \\ \text{∴} \quad A^2 & = yA-E \end{align}\] これを繰返し用いると \[\begin{align} A^5 & = ( yA-E )^2 A \\ & = y^2 ( yA-E ) A -2y ( yA-E ) -A \\ & = y^3 ( yA-E ) -(3y^2+1) A +2yE \\ & = ( y^4-3y^2+1 ) A -(y^3-2y) E \end{align}\] これを [1] に代入すると \[ ( y^4-3y^2+1 ) A = ( y^3-2y+1 ) E \quad ... [2] \]

1. 1*　\(A = kE\) （ \(k\) は実数）のとき
   [1] に代入して \[ (k^5-1) E = OE \] \(k\) は実数なので \[ k=1 \] このとき \[ y = 1+1 = 2 \]

2. 2*　\(A \neq kE\) （ \(k\) は実数）のとき
   [2] より \[ \left\{\begin{array}{ll} y^4-3y^2+1 = 0 & \quad ... [3] \\ y^3-2y+1 = 0 & \quad ... [4] \end{array}\right. \] [4] より, \(y^3 = 2y-1\) なので, [3] に代入して \[\begin{align} y ( 2y-1 ) -3y^2+1 & = 0 \\ y^2+y-1 & = 0 \\ \text{∴} \quad y & = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \end{align}\]

以上より, 求める \(y\) の値は \[ y = \underline{2 , \ \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}} \]

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【 解 答 】

\(f(x) = e^x-x^e\) とおいて, \(x \gt 0\) における曲線 \(y = f(x)\) と直線 \(y = k\) の交点の個数を考えればよい.
\(f(x)\) の導関数を順次求めると \[\begin{align} f'(x) & = e^x -e x^{e-1} \\ f''(x) & = e^x -e(e-1) x^{e-2} \end{align}\] ここで, \(f(x)\) について \[ \left\{\begin{array}{l} f(0) = e^0 -0^e = 1 \\ f(1) = e^1 -1^e = e-1 \\ f(e) = e^e -e^e = 0 \\ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} f(x) = \infty \end{array}\right. \quad ... [1] \] また, \(f'(x)\) について \[ \left\{\begin{array}{l} f'(0) = e^0 -e \cdot 0^{e-1} = 1 \\ f(1) = e^1 -e \cdot 1^{e-1} = 0 \\ f(e) = e^e -e \cdot e^{e-1} = 0 \\ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} f'(x) = \infty \end{array}\right. \quad ... [2] \] [2] より, 「 \(f'(x) = 0\) は少なくとも \(2\) つの正の解をもつ. 」 ... [3] 続いて, \(f''(x)\) に着目し, \(g(x) = e^x\) , \(h(x) = e(e-1) x^{e-2}\) とおく.
\(2 \lt e \lt 3\) であるから, \(y = h(x)\) のグラフは上に凸である.
一方, \(y = g(x)\) のグラフは下に凸なので, \(2\) つのグラフは高々 \(2\) つの交点しかもたない.

1. 1*　\(2\) つのグラフの交点が \(1\) つ以下のとき
   常に, \(g(x) \geqq h(x)\) すなわち \(f''(x) \geqq 0\) なので, \(f'(x)\) は単調増加し \[ f'(x) \gt f'(0) = 1 \]

2. 2*　\(2\) つのグラフの交点が \(2\) つのとき
   \(2\) つの交点の \(x\) 座標を \(\alpha , \beta\) （ \(\alpha \lt \beta\) ）とおくと, \(f'(x)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccccc} x & (0) & \cdots & \alpha & \cdots & \beta & \cdots & ( \infty ) \\ \hline f''(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f'(x) & (1) & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \text{極小} & \nearrow & ( \infty ) \end{array} \]

1* 2*より, 「 \(f'(x) = 0\) は高々 \(2\) つの正の解しかもたない. 」 ... [4] [3] [4] より, \(f'(x) = 0\) はちょうど \(2\) つの正の解をもち, [2]より, その解は \[ x = 1 , e \] したがって, [1] とあわせて考えれば, \(f(x)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccccc} x & (0) & \cdots & 1 & \cdots & e & \cdots & ( \infty ) \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & (1) & \nearrow & e-1 & \searrow & 0 & \nearrow & ( \infty ) \end{array} \] よって, 曲線 \(y = f(x)\) と直線 \(y = k\) の位置関係を考えれば, 求める解の個数は \[ \underline{\left\{\begin{array}{ll} 0 & \left( k \lt 0 \text{のとき} \right) \\ 1 & \left( k = 0 \text{のとき} \right) \\ 2 & \left( 0 \lt k \leqq 1 \text{のとき} \right) \\ 3 & \left( 1 \lt k \lt e-1 \text{のとき} \right) \\ 2 & \left( k = e-1 \text{のとき} \right) \\ 1 & \left( k \gt e-1 \text{のとき} \right) \end{array}\right.} \]

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【 解 答 】

上図より, 与えられた不等式をみたす \(x\) の範囲は, \(0\) 以上の整数 \(k\) を用いて \[\begin{align} x & \leqq 4nx -2k \pi \leqq \pi -x \\ 2k \pi & \leqq (4n-1) x , \ (4n+1) x \leqq (2k+1) \pi \quad ... [1] \end{align}\] ここで \[\begin{align} \dfrac{2k+1}{4n+1} & -\dfrac{2k}{4n-1} \\ & = \dfrac{(2k+1)(4n-1) -2k (4n+1)}{(4n+1)(4n-1)} \\ & = \dfrac{(4n-1)-4k}{(4n+1)(4n-1)} \end{align}\] なので, \(n , k\) がともに整数であることに注意して [1] をとくと \[ \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{2k}{4n-1} \pi \leqq x \leqq \dfrac{2k+1}{4n+1} \pi & \left( 0 \leqq k \leqq n-1 \text{のとき} \right) \\ \text{解なし} & \left( k \geqq n \text{のとき} \right) \end{array}\right. \] このうち, \(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\) に含まれるのは, \(0 \leqq k \leqq n-1\) のときである.
したがって \[\begin{align} S _ n & = \textstyle\sum\limits _ {k=0}^{n-1} \left( \dfrac{2k+1}{4n+1} -\dfrac{2k}{4n-1} \right) \pi \\ & = \dfrac{\pi}{(4n+1)(4n-1)} \textstyle\sum\limits _ {k=0}^{n-1} \left\{ (4n-1)-4k \right\} \\ & = \dfrac{\pi \left\{ n(4n-1) -2 n(n-1) \right\}}{(4n+1)(4n-1)} \\ & = \dfrac{n (2n+1) \pi}{(4n+1)(4n-1)} \\ & = \dfrac{\left(2 +\frac{1}{n} \right) \pi}{\left( 4 +\frac{1}{n} \right) \left( 4 -\frac{1}{n} \right)} \\ & \rightarrow \dfrac{2 \pi}{4 \cdot 4} = \dfrac{\pi}{8} \quad ( n \rightarrow \infty \text{のとき} ) \end{align}\] よって, 求める値は \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} S _ n = \underline{\dfrac{\pi}{8}} \]

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【 解 答 】

(1)

下図のように, 円 \(C _ 1\) は中心 \((a,0)\) , 半径 \(a\) であり, 楕円 \(C _ 2\) は原点中心で点 \((1,0)\) と \((0,b)\) を通る.

したがって, \(x \geqq 0 , \ y \geqq 0\) の領域において, \(C _ 1\) が \(C _ 2\) に内接する条件を考えればよい.
\(C _ 2\) 上の点 P \((p,q) \ ( 0 \leqq p \leqq 1 )\) と \(C _ 1\) の中心 A \((a,0)\) との距離の最小値が \(a\) になるような \(a , b\) の条件を考えればよい. \[\begin{align} \text{AP}^2 & = (p-a)^2 +q^2 \\ & = (p-a)^2+b^2(1-p^2) \\ & = (1-b^2)p^2 -2ap +a^2+b^2 \\ & = (1-b^2) \left( p-\dfrac{a}{1-b^2} \right)^2 +a^2 +b^2 -\dfrac{a^2}{1-b^2} \end{align}\] これを \(f(p)\) とおく.

1. 1*　\(b = 1\) のとき
   このとき \[ f(p) = -2ap+a^2+1 \] これは \(p\) の傾きが負である \(1\) 次関数なので, 最小値となりうるのは, \(f(1)\) である. \[\begin{align} f(1) = a^2-2a+1 & = a^2 \\ -2a+1 & = 0 \\ \text{∴} \quad a & = \dfrac{1}{2} \end{align}\]

2. 2*　\(b \gt 1\) のとき
   このとき, \(f(p)\) は上に凸な \(p\) の \(2\) 次関数であり, 放物線の軸： \(p = \dfrac{a}{1-b^2} \lt 0\) なので, 最小値は \(f(1)\) である. \[\begin{align} f(1) = a^2-2a+1 & = a^2 \\ \text{∴} \quad a & = \dfrac{1}{2} \end{align}\]

3. 3*　\(0 \lt b \lt 1\) のとき
   このとき, \(f(p)\) は下に凸な \(p\) の \(2\) 次関数であり, 放物線の軸： \(p = \dfrac{a}{1-b^2} \gt 0\) なので,

   1. (ア)　\(0 \lt \dfrac{a}{1-b^2} \lt 1\) すなわち \(0 \lt a \lt 1-b^2\) ...[1] のとき
      最小値は \(f \left( \dfrac{a}{1-b^2} \right)\) なので \[\begin{align} f \left( \dfrac{a}{1-b^2} \right) = a^2 +b^2 & -\dfrac{a^2}{1-b^2} = a^2 \\ a^2 & = b^2(1-b^2) \\ \text{∴} \quad a & = b \sqrt{1-b^2} \end{align}\] このとき, [1] より \[\begin{align} 0 & \lt b \sqrt{1-b^2} \lt 1-b^2 \\ 0 & \lt b \lt \sqrt{1-b^2} \\ \text{∴} \quad 0 & \lt b^2 \lt 1-b^2 \\ \text{∴} \quad 0 & \lt b \lt \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{align}\]
   2. (イ)　\(\dfrac{a}{1-b^2} \geqq 1\) すなわち \(a \geqq 1-b^2\) ...[2] のとき
      最小値は \(f(1)\) なので \[\begin{align} f(1) = a^2-2a+1 & = a^2 \\ \text{∴} \quad a & = \dfrac{1}{2} \end{align}\] このとき, [2] より \[\begin{align} \dfrac{1}{2} & \geqq 1-b^2 \\ \text{∴} \quad b & \geqq \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{align}\]

以上より, 求める条件は \[ \underline{\left\{\begin{array}{ll} a = b \sqrt{1-b^2} & \left( 0 \lt b \lt \dfrac{\sqrt{2}}{2} \text{のとき} \right) \\ a = \dfrac{1}{2} & \left( b \geqq \dfrac{\sqrt{2}}{2} \text{のとき} \right) \end{array}\right.} \]

(2)

\(b = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\) のとき, (1) の結果より \[ a = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{1 -\dfrac{1}{3}} = \dfrac{\sqrt{2}}{3} \] なので, 接点の \(x\) 座標 \(p\) は \[ p = \dfrac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{1 -\frac{1}{3}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \] 接点は, \(C _ 2\) 上の点なので, \(y\) 座標 \(q\) は \[ q = \sqrt{\dfrac{1 -\frac{1}{2}}{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{6} \] よって, 接点の座標は \[ \underline{\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} , \dfrac{\sqrt{6}}{6} \right)} \]

(3)

面積を求める部分は \(x\) 軸について対称なので, \(y \geqq 0\) の部分について考える.
直線 \(x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) と \(x\) 軸と \(C _ 1\) , 直線 \(x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) と \(x\) 軸と \(C _ 2\) に囲まれた部分の面積をそれぞれ \(S _ 1 , S _ 2\) とおくと, 求める面積 \(S\) は \[ S = 2 ( S _ 2 -S _ 1 ) \quad ... [3] \] \(S _ 1\) について, この部分は下図斜線部のようになるので

\[\begin{align} S _ 1 & = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\sqrt{2}}{3} \right)^2 \dfrac{\pi}{3} -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{6} \cdot \dfrac{\sqrt{6}}{6} \\ &= \dfrac{\pi}{27} -\dfrac{\sqrt{3}}{36} \end{align}\] また \[\begin{align} S _ 2 & = \displaystyle\int _ {\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \sqrt{\dfrac{1-x^2}{3}} \, dx \\ & = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \underline{\displaystyle\int _ {\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx} _ {[4]} \end{align}\] 下線部 [4] は, 下図斜線部の面積を表すので

\[\begin{align} [4] & = \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \dfrac{\pi}{4} -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ & = \dfrac{\pi}{8} -\dfrac{1}{4} \end{align}\] したがって \[ S _ 2 = \dfrac{\sqrt{3} \pi}{24} -\dfrac{\sqrt{3}}{12} \] よって, [3] より, 求める面積は \[\begin{align} S & = 2 \left\{ \left( \dfrac{\sqrt{3} \pi}{24} -\dfrac{\sqrt{3}}{12} \right) -\left( \dfrac{\pi}{27} -\dfrac{\sqrt{3}}{36} \right) \right\} \\ & = \underline{\dfrac{9 \sqrt{3} -8}{108} \pi -\dfrac{\sqrt{3}}{9}} \end{align}\]

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