平面上に一辺の長さが \(1\) の正方形 \(D\) および \(D\) と交わる直線があるとする.
この直線を軸に \(D\) を回転して得られる回転体について以下の問に答えよ.
【 解 答 】
(1)
図形 \(R\) は領域 \(0 \leqq x \leqq a\) にあり, 直線 \(x = k\) に含まれる部分の長さ(以後, 幅とよぶ)が \(f(k)\) であるとする.
このとき, 図形 \(R\) の \(y\) 軸を中心とした回転体の体積 \(V\) は
\[
V = 2\pi \displaystyle\int _ 0^a x f(x) dx
\]
以下では \(2\) つの補題 [A], [B] を示す.
補題 [A] :
\(2\) つの図形 \(R _ 1 , R _ 2\) はそれぞれ領域 \(0 \leqq x \leqq a , \ b \leqq x \leqq a+b\) にあり, 幅がそれぞれ \(f(x) , g(x)\) であるとする.
このとき, \(f(x+b) = g(x)\) であれば, 図形 \(R _ 1 , R _ 2\) の \(y\) 軸を中心にした回転体の体積をそれぞれ \(V _ 1 , V _ 2\) とすれば
\[
V _ 1 \lt V _ 2
\]
- [A] の証明:
\[\begin{align}
V _ 1 & = 2\pi \displaystyle\int _ 0^a x f(x) dx \\
V _ 2 & = 2\pi \displaystyle\int _ b^{a+b} x f(x+b) dx
\end{align}\]
ここで \(u = x-b\) とおけば
\[\begin{gather}
dx = du , \\
\begin{array}{c|ccc} x & b & \rightarrow & a+b \\ \hline u & 0 & \rightarrow & a \end{array}
\end{gather}\]
ゆえに
\[\begin{align}
V _ 2 & = 2\pi \displaystyle\int _ 0^a (u+b) f(u) \, du \\
& = V _ 1 +2b\pi \displaystyle\int _ 0^a f(u) \, du \gt V _ 1
\end{align}\]
補題 [B] :
図形 \(R\) は領域 \(0 \leqq x \leqq a\) にあり, 幅 \(f(x)\) が単調増加であるとする.
このとき, 図形領域 \(R\) の \(y\) 軸, 直線 \(x = a\) を中心にした回転体の体積をそれぞれ \(V _ 1 , V _ 2\) とすれば
\[
V _ 1 \gt V _ 2
\]
- [B] の証明:
\[\begin{align}
V _ 1 & = 2\pi \displaystyle\int _ 0^a x f(x) \, dx , \\
V _ 2 & = 2\pi \displaystyle\int _ 0^a x f(a-x) \, dx
\end{align}\]
なので
\[\begin{align}
\dfrac{V _ 1 -V _ 2}{2\pi} & = \displaystyle\int _ 0^a x \left\{ f(x) -f(a-x) \right\} \, dx \\
& = \displaystyle\int _ 0^{\frac{a}{2}} x \left\{ f(x) -f(a-x) \right\} \, dx \\
& \qquad +\underline{\displaystyle\int _ {\frac{a}{2}}^a x \left\{ f(x) -f(a-x) \right\} \, dx} _ {[1]}
\end{align}\]
下線部 [1] について, \(u = a-x\) とおけば
\[\begin{gather}
dx = -du , \\
\begin{array}{c|ccc} x & \dfrac{a}{2} & \rightarrow & a \\ \hline u & \dfrac{a}{2} & \rightarrow & 0 \end{array}
\end{gather}\]
ゆえに
\[\begin{align}
[1] & = \displaystyle\int _ 0^{\frac{a}{2}} (a-u) \left\{ f(a-u) -f(u) \right\} \, du \\
& = \displaystyle\int _ 0^{\frac{a}{2}} (u-a) \left\{ f(u) -f(a-u) \right\} \, du
\end{align}\]
したがって
\[
\dfrac{V _ 1 -V _ 2}{2\pi} = \displaystyle\int _ 0^{\frac{a}{2}} (a-2x) \left\{ f(a-x) -f(x) \right\} \, dx
\]
ここで, \(0 \leqq x \leqq \dfrac{a}{2}\) のとき, \(2x-a \geqq 0 \quad ... [1]\) .
また \(f(x)\) は単調増加なので, \(f(a-x) -f(x) \geqq 0 \quad ... [2]\) .
常に [1] [2] ともに等号成立することはないので
\[\begin{align}
\dfrac{V _ 1 -V _ 2}{2\pi} \gt 0 \\
\text{∴} \quad V _ 1 \gt V _ 2
\end{align}\]
ここから, 題意を示す.
対称性から, 軸の位置は \(D\) の中心 O を通る直線より左側のみを考えればよい.
もっとも左の \(1\) 頂点を通る直線を \(L\) , その他の直線を \(K\) とおき, それぞれを中心にした \(D\) の回転体の体積を \(V _ L , V _ K\) とおく.
\(D\) が \(K\) によって分けられる部分の左側を \(A\) , 右側を \(B\) とおき, 各部分の, \(L , K\) を中心にした回転体の体積をそれぞれ \(V _ {LA}\) と \(V _ {LB}\) , \(V _ {KA}\) と \(V _ {KB}\) とおく.
このとき
\[\begin{align}
V _ L & = V _ {LA} +V _ {LB} \\
V _ K & \lt V _ {KA} +V _ {KB} \quad ( \ \text{∵} \ \text{回転体どうしに重なりがある} )
\end{align}\]
補題 [A] より
\[
V _ {LB} \gt V _ {KB}
\]
部分 \(A\) は右にいくほど軸方向の幅が単調増加しているので, 補題 [B] より
\[
V _ {LA} \gt V _ {KA}
\]
以上より
\[
V _ L = V _ {LA} +V _ {LB} \gt V _ {KA} +V _ {KB} \gt V _ K
\]
よって, 題意は示された.
(2)
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