\(a \gt 0\) に対し \[\begin{align} I _ 0 (a) & = \displaystyle\int _ {0}^a \sqrt{1+x} \, dx , \\ I _ n (a) & = \displaystyle\int _ {0}^a x^n \sqrt{1+x} \, dx \quad ( n = 1, 2, \cdots ) \end{align}\] とおく.
(1) \(\displaystyle\lim _ {a \rightarrow \infty} a^{-\frac{3}{2}} I _ 0 (a)\) を求めよ.
(2) 漸化式 \[ I _ n (a) = \dfrac{2}{3+2n} a^n (1+a)^{\frac{3}{2}} -\dfrac{2n}{3+2n} I _ {n-1} (a) \quad ( n = 1, 2, \cdots ) \] を示せ.
(3) 自然数 \(n\) に対して, \(\displaystyle\lim _ {a \rightarrow \infty} a^{- \left( \frac{3}{2} +n \right)} I _ n (a)\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(t = 1+x\) とおくと, \(dt = dx\) であり \[ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & \rightarrow & a \\ \hline t & 1 & \rightarrow & 1+a \end{array} \] なので \[\begin{align} I _ 0 (a) & = \displaystyle\int _ 1^{1+a} \sqrt{t} \, dt = \left[ \dfrac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right] _ 1^{1+a} \\ & = \dfrac{2}{3} \left\{ ( 1+a )^{\frac{3}{2}} -1 \right\} \end{align}\] よって \[\begin{align} a^{-\frac{3}{2}} I _ 0 (a) & = \dfrac{2}{3} \left\{ \left( \dfrac{1}{a} +1 \right)^{\frac{3}{2}} -\dfrac{1}{a^{\frac{3}{2}}} \right\} \\ & \rightarrow \underline{\dfrac{2}{3}} \quad ( \ a \rightarrow \infty \text{のとき} ) \end{align}\]
(2)
(1) と同様に置換すると \[\begin{align} I _ n (a) & = \displaystyle\int _ 1^{1+a} t^{\frac{1}{2}} (t-1)^{n} \, dt \\ & = \displaystyle\int _ 1^{1+a} t^{\frac{3}{2}} (t-1)^{n-1} \, dt -\displaystyle\int _ 1^{1+a} t^{\frac{1}{2}} (t-1)^{n-1} \, dt \\ & = \left[ t^{\frac{3}{2}} \cdot \dfrac{(t-1)^n}{n} \right] _ 1^{1+a} -\dfrac{3}{2n} \displaystyle\int _ 1^{1+a} t^{\frac{1}{2}} (t-1)^{n} \, dt -I _ {n-1} (a) \\ & = \dfrac{1}{n} (1+a)^{\frac{3}{2}} a^n -\dfrac{3}{2n} I _ {n} (a) -I _ {n-1} (a) \end{align}\] よって \[\begin{align} (2n+3) I _ {n} (a) & = 2 (1+a)^{\frac{3}{2}} a^n -2n I _ {n-1} (a) \\ \text{∴} \quad I _ {n} (a) & = \dfrac{2}{3+2n} (1+a)^{\frac{3}{2}} a^n -\dfrac{2n}{3+2n} I _ {n-1} (a) \end{align}\]
(3)
すべての \(0\) 以上の整数 \(n\) について \[ \displaystyle\lim _ {a \rightarrow \infty} a^{ -\left( \frac{3}{2} +n \right)} I _ n (a) = \dfrac{2}{3+2n} \quad ... [\text{A}] \] であることを数学的帰納法を用いて示す.
1* \(n = 0\) のとき, (1) の結果より, 成立する.
2* \(n = k-1 \ ( k \geqq 1 )\) のとき, [A] が成立する, すなわち \[ \displaystyle\lim _ {a \rightarrow \infty} a^{- \left( \frac{1}{2} +k \right)} I _ {k-1} (a) = \dfrac{2}{1+2k} \] と仮定する.
(2) の結果より, \[\begin{align} I _ {k} (a) & = \dfrac{2}{2k+3} (1+a)^{\frac{3}{2}} a^{k} -\dfrac{2k}{3+2k} I _ {k} (a) \\ a^{ -\left( \frac{3}{2} +n \right)} I _ {k} (a) & = \dfrac{2}{3+2k} \left( \dfrac{1}{a} +1 \right)^{\frac{3}{2}} -\dfrac{1}{a} \cdot \dfrac{2k}{3+2k} a^{- \left( \frac{1}{2} +n \right)} I _ {k-1} (a) \end{align}\] ここで, 辺々 \(a \rightarrow \infty\) とすれば \[\begin{gather} \dfrac{2}{3+2k} \left( \dfrac{1}{a} +1 \right)^{\frac{3}{2}} \rightarrow \dfrac{2}{3+2k} , \\ \dfrac{1}{a} \cdot \dfrac{2k}{3+2k} a^{- \left( \frac{1}{2} +n \right)} I _ {k-1} (a) \rightarrow 0 \end{gather}\] なので \[ \displaystyle\lim _ {a \rightarrow \infty} a^{- \left( \frac{3}{2} +k \right)} I _ {k} (a) = \dfrac{2}{3+2k} \] したがって, \(n=k\) のときも [A] が成立する.
1* 2* より, すべての \(0\) 以上の整数 \(n\) について \[ \displaystyle\lim _ {a \rightarrow \infty} a^{- \left( \frac{3}{2} +n \right)} I _ n (a) = \underline{\dfrac{2}{3+2n}} \]