東北大理系2007:第1問

\(n\) を \(2\) 以上の自然数とし, 整式 \(x^n\) を \(x^2-6x-12\) で割った余りを \(a_n x +b_n\) とする.
  1. (1) \(a_2 , b_2\) を求めよ.
  2. (2) \(a_{n+1} , b_{n+1}\) を \(a_n , b_n\) を用いて表せ.
  3. (3) 各 \(n\) に対して, \(a_n\) と \(b_n\) の公約数で素数となるものをすべて求めよ.

東北大理系2007:第2問

\(\angle \text{C}\) を直角とする直角三角形ABCに対して, \(\angle \text{A}\) の二等分線と線分BCの交点をDとする. また, 線分AD, DC, CAの長さをそれぞれ \(5, 3, 4\) とする. \(\angle \text{A} = \theta\) とおくとき, 次の問いに答えよ.
  1. (1) \(\sin \theta\) を求めよ.
  2. (2) \(\theta \lt \dfrac{5}{12} \pi\) を示せ. ただし, \(\sqrt{2} = 1.414 \cdots\) , \(\sqrt{3} = 1.732 \cdots\) を用いてもよい.

東北大理系2007:第3問

自然数 \(n\) に対し, 方程式 \[ \dfrac{1}{x^n} -\log x -\dfrac{1}{e} = 0 \] を考える. ただし. 対数は自然対数であり, \(e\) はその底とする.
  1. (1) 上の方程式は \(x \geq 1\) にただ一つの解をもつことを示せ.
  2. (2) (1)の解を \(x_n\) とする. このとき \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = 1\) を示せ.

東北大理系2007:第4問

\(xy\) 平面上に \(4\) 点\((0,0) , (4,0) , (4,4) , (0,4)\) を頂点とする正方形 \(K\) を考える. 点 \((1,2)\) を通る各直線に対して, その \(K\) に含まれる部分を \(l\) とおく.
  1. (1) \(l\) の長さの最大値と, それを与える直線の方程式を求めよ.
  2. (2) \(l\) の長さの最小値を求めよ.
tohoku_r_2007_04_01

東北大理系2007:第5問

\(xyz\) 空間において, 点 \((1,0,1)\) と点 \((1,0,2)\) を結ぶ線分を \(l\) とし, \(l\) を \(z\) 軸のまわりに一回転してできる図形を \(A\) とする. \(A\) を \(x\) 軸のまわりに一回転してできる立体の体積を求めよ.

東北大理系2007:第6問

\(a \gt 0\) に対し \[ \begin{align} I_0 (a) & = \displaystyle\int_{0}^a \sqrt{1+x} \, dx , \\ I_n (a) & = \displaystyle\int_{0}^a x^n \sqrt{1+x} \, dx \quad ( n = 1, 2, \cdots ) \end{align} \] とおく.
  1. (1) \(\displaystyle\lim_{a \rightarrow \infty} a^{-\frac{3}{2}} I_0 (a)\) を求めよ.
  2. (2) 漸化式 \[ I_n (a) = \dfrac{2}{3+2n} a^n (1+a)^{\frac{3}{2}} -\dfrac{2n}{3+2n} I_{n-1} (a) \quad ( n = 1, 2, \cdots ) \] を示せ.
  3. (3) 自然数 \(n\) に対して, \(\displaystyle\lim_{a \rightarrow \infty} a^{- \left( \frac{3}{2} +n \right)} I_n (a)\) を求めよ.