鋭角三角形 \(\triangle \text{ABC}\) において, 頂点 A , B , C から各対辺に垂線 AD , BE , CF を下ろす. これらの垂線は垂心 H で交わる. このとき, 以下の問に答えよ.
(1) 四角形 BCEF と AFHE が円に内接することを示せ.
(2) \(\angle \text{ADE} = \angle \text{ADF}\) であることを示せ.
【 解 答 】
(1)
\(\angle \text{BEC} = \angle \text{BFC} = 90^{\circ}\) なので, 点 E , F は BC を直径とする円周上にある.
よって, 四角形 BCEF は, 円に内接する.
\(\angle \text{AFH} = \angle \text{AEH} = 90^{\circ}\) なので, 点 E , F は AH を直径とする円周上にある.
よって, 四角形 AFHE は, 円に内接する.
(2)
(1) の結果から, 円周角の定理より \[ \angle \text{FBE} = \angle \text{FCE} \quad ... [1] \ . \] (1) と同様に考えると, 四角形 BDHF , 四角形 CEHD も円に内接するので, 円周角の定理より \[ \angle \text{FBH} = \angle \text{FDH} , \ \angle \text{HCE} = \angle \text{HDE} \quad ... [2] \ . \] [1] [2] より \[ \underline{\angle \text{ADE} = \angle \text{ADF}} \ . \]