次のように媒介変数表示された \(xy\) 平面上の曲線を \(C\) とする: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 \cos t -\cos 3t \\ y = 3 \sin t -\sin 3t \end{array} \right. \] ただし, \(0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2}\) である.
(1) \(\dfrac{dx}{dt}\) および \(\dfrac{dy}{dt}\) を計算し, \(C\) の概形を図示せよ.
(2) \(C\) が \(x\) 軸と \(y\) 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} \dfrac{dx}{dt} & = -3 \sin t +3 \sin 3t \\ & = -3 \sin t +3 ( 3 \sin t -4 \sin^3 t ) \\ & = 6 \sin t ( 1 -2 \sin^2 t ) \\ & = \sin t \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} +\sin t \right) \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} -\sin t \right) \end{align}\] また \[\begin{align} \dfrac{dy}{dt} & = 3 \cos t -3 \cos 3t \\ & = 3 \cos t +3 ( 4 \cos^3 t -3 \cos t ) \\ & = 12 \cos t ( 1 -\cos^2 t ) \\ & = 12 \sin t ( 1 +\cos t ) ( 1 -\cos t ) \end{align}\] したがって, \(0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2}\) における \(x,y\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} t & 0 & \cdots & \dfrac{\pi}{4} & \cdots & \dfrac{\pi}{2} \\ \hline \dfrac{dx}{dt} & 0 & + & 0 & - & \\ \hline x & 2 & \rightarrow & 2 \sqrt{2} & \leftarrow & 0 \\ \hline \dfrac{dy}{dt} & 0 & + & & + & 0 \\ \hline y & 0 & \uparrow & \sqrt{2} & \uparrow & 4 \end{array} \] よって, \(C\) の概形は下図.
(2)
求める面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = \displaystyle\int _ 0^4 x \, dy \\ & = \displaystyle\int _ {0}^{\frac{\pi}{2}} ( 3 \cos t -\cos 3t ) ( 3 \cos t -3 \cos 3t ) \, dt \\ & = 3 \displaystyle\int _ {0}^{\frac{\pi}{2}} ( 3 \cos^2 t +\cos^2 3t -4 \cos t \cos 3t ) \, dt \\ & = 3 \displaystyle\int _ {0}^{\frac{\pi}{2}} \left\{ \dfrac{3 ( \cos 2t +1 )}{2} +\dfrac{\cos 6t +1}{2} -2 ( \cos 4t +\cos 2t ) \right\} \, dt \\ & = 3 \left[ 2t +\dfrac{1}{12} \sin 6t -\dfrac{1}{2} \sin 4t -\dfrac{1}{4} \sin 2t \right] _ {0}^{\frac{\pi}{2}} \\ & = \underline{3 \pi} \end{align}\]