正の整数に関する条件
- (＊) \(10\) 進法で表したときに, どの位にも数字 \(9\) が現れない.
を考える. 以下の問いに答えよ.
(1) \(k\) を正の整数とするとき, \(10^{k-1}\) 以上かつ \(10^k\) 未満であって条件 (＊) を満たす正の整数の個数を \(a_k\) とする. このとき, \(a_k\) を \(k\) の式で表せ.
(2) 正の整数 \(n\) に対して, \[ b_n = \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{1}{n} & ( \ n \ \text{が条件 (＊) を満たすとき} \ ) \\ 0 & ( \ n \ \text{が条件 (＊) を満たさないとき} \ ) \end{array} \right. \] とおく. このとき, すべての正の整数 \(k\) に対して次の不等式が成り立つことを示せ. \[ \textstyle\sum\limits _ {n=1}^{10^k -1} b_n \lt 80 \]
【 解 答 】
(1)
\(10^{k-1}\) 以上 \(10^k\) 未満, すなわち \(k\) 桁の整数のうち, 条件を満たすものは
\(10^{k-1}\) の位の数字が \(1\) ～ \(8\)
他の位の数字が \(0\) ～ \(8\)
なので, 求める個数は \[ a_k = \underline{8 \cdot 9^{k-1}} \]
(2)
\(S _ m = \textstyle\sum\limits _ {\ell = 10^{m-1}}^{10^m -1} b_\ell\) とおく.
\(10^{m-1} \leqq \ell \leqq 10^m -1\) において
\[
b _ \ell \leqq \dfrac{1}{10^{m-1}}
\]
なので, (1) の結果より
\[
S _ m \leqq \dfrac{a _ m}{10^{m-1}} = 8 \left( \dfrac{9}{10} \right)^{m-1}
\]
よって
\[\begin{align}
\textstyle\sum\limits _ {n=1}^{10^k -1} b_n & = \textstyle\sum\limits _ {m=1}^{k} S _ m \\
& \leqq 8 \cdot \dfrac{1 -\left( \dfrac{9}{10} \right)^k}{1 -\dfrac{9}{10}} \\
& = 80 \left\{ 1 -\left( \dfrac{9}{10} \right)^k \right\} \lt 80
\end{align}\]
すなわち
\[
\textstyle\sum\limits _ {n=1}^{10^k -1} b_n \lt 80
\]