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【 解 答 】

(1)

\(10^{k-1}\) 以上 \(10^k\) 未満, すなわち \(k\) 桁の整数のうち, 条件を満たすものは

• \(10^{k-1}\) の位の数字が \(1\) ～ \(8\)

• 他の位の数字が \(0\) ～ \(8\)

なので, 求める個数は \[ a_k = \underline{8 \cdot 9^{k-1}} \]

(2)

\(S _ m = \textstyle\sum\limits _ {\ell = 10^{m-1}}^{10^m -1} b_\ell\) とおく.
\(10^{m-1} \leqq \ell \leqq 10^m -1\) において \[ b _ \ell \leqq \dfrac{1}{10^{m-1}} \] なので, (1) の結果より \[ S _ m \leqq \dfrac{a _ m}{10^{m-1}} = 8 \left( \dfrac{9}{10} \right)^{m-1} \] よって \[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {n=1}^{10^k -1} b_n & = \textstyle\sum\limits _ {m=1}^{k} S _ m \\ & \leqq 8 \cdot \dfrac{1 -\left( \dfrac{9}{10} \right)^k}{1 -\dfrac{9}{10}} \\ & = 80 \left\{ 1 -\left( \dfrac{9}{10} \right)^k \right\} \lt 80 \end{align}\] すなわち \[ \textstyle\sum\limits _ {n=1}^{10^k -1} b_n \lt 80 \]

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【 解 答 】

(1)

\(E\) と \(\ell\) の式から \(y\) を消去すると \[\begin{align} \dfrac{x^2}{4} +\left( ax +b \right)^2 & = 1 \\ x^2 +4 ( a^2 x^2 +2abx +b^2 ) & = 4 \\ \text{∴} \quad ( 4a^2 +1 ) x^2 +8abx +4 (b^2 -1 ) & = 0 \quad ... [1] \end{align}\] これが異なる \(2\) 実数解を持てばよいので, 判別式を \(D\) について \[\begin{align} \dfrac{D}{4} & = ( 4ab )^2 -( 4a^2 +1 ) \cdot 4 ( b^2 -1 ) \\ & = 16 a^2 b^2 -( 16 a^2 b^2 -16 a^2 +4b^2 -4 ) \\ & = 4 ( 4a^2 -b^2 +1 ) \gt 0 \\ & \qquad \text{∴} \quad b^2 \lt 4a^2 +1 \\ & \qquad \text{∴} \quad \underline{-\sqrt{4a^2 +1} \lt b \lt \sqrt{4a^2 +1}} \end{align}\]

(2)

[1] の \(2\) 解を \(p , q \ ( p\lt q )\) とおくと, これは P, Q の \(x\) 座標である.
同様に, S, R の \(x\) 座標を \(s , r \ ( s \lt r )\) とおく.
\(\ell\) と \(m\) の傾きは等しいので, \(\overrightarrow{\text{PQ}} = \overrightarrow{\text{SR}}\) が成立する条件は \[ q-p = r-s\quad ... [2] \] [1] をとくと \[ x = \dfrac{-8ab \pm \sqrt{\dfrac{D}{4}}}{4a^2 +1} \] なので \[ q-p = \dfrac{\sqrt{D}}{4a^2 +1} = \dfrac{2 \sqrt{4a^2 -b^2 +1}}{4a^2 +1} \] 同様に考えれば \[ r-s = \dfrac{2 \sqrt{4a^2 -c^2 +1}}{4a^2 +1} \] なので, [2] に代入して \[\begin{align} \dfrac{2 \sqrt{4a^2 -b^2 +1}}{4a^2 +1} & = \dfrac{2 \sqrt{4a^2 -c^2 +1}}{4a^2 +1} \\ 4a^2 -b^2 +1 & = 4a^2 -c^2 +1 \\ c^2 & = b^2 \\ \text{∴} \quad c & = \pm b \end{align}\] \(b \gt c\) であることに注意すれば \[ c = -b \ , \ b \gt 0 \] よって, (1) の結果もあわせて, 求める条件は \[ \underline{c = -b \ , \ 0 \lt b \lt \sqrt{4a^2 +1}} \]

(3)

P, Q, R, S が正方形となるのは, \(\triangle \text{OPQ}\) が直角二等辺三角形となる, すなわち \[ \left\{ \begin{array}{ll} \text{OP} = \text{OQ} & ... [3] \\ \angle \text{POQ} = \dfrac{\pi}{2} & ... [4] \end{array} \right. \] が成立するとき.

• [3] について \[\begin{align} \text{OP} & = p^2 +( ap +b )^2 \\ & = ( a^2 +1 ) p^2 +2ab p +b^2 \end{align}\] OQ についても同様に考えて, [3] に代入すると \[\begin{align} ( a^2 +1 ) p^2 +2ab p +b^2 & = ( a^2 +1 ) q^2 +2ab q +b^2 \\ ( a^2 +1 ) ( p^2 -q^2 ) +2ab ( p-q )& = 0 \\ ( p-q ) \left\{ ( a^2 +1 ) (p+q) +2ab \right\} & = 0 \\ \text{∴} \quad p+q = -\dfrac{2ab}{a^2 +1} & \quad ... [5] \end{align}\] [1] について, 解と係数の関係から \[ p+q = -\dfrac{8ab}{4 a^2 +1} \quad ... [6] \] したがって, [5] [6] より \[\begin{align} -\dfrac{2ab}{a^2 +1} & = -\dfrac{8ab}{4 a^2 +1} \\ 4ab ( a^2 +1 ) & = ab ( 4 a^2 +1 ) \\ 3ab & = 0 \\ \text{∴} \quad a & = 0 \quad ( \ \text{∵} \ b \gt 0 \ ) \quad ... [7] \end{align}\]
• [4] について
  [7] より, \(\ell \ : \ y = b\) となり, P , Q は \(y\) 軸について対称となるので, [4] となるのは \[ \text{P} \ ( -b , b ) \ , \quad \text{Q} \ ( b , b ) \] のとき.
  ゆえに, \(E\) の式に代入して \[\begin{align} b^2 +\dfrac{b^2}{4} & = 1 \\ \text{∴} \quad b & = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \end{align}\]

よって, (2) の結果もあわせれば, R \(( b , -b )\) , S \(( -b , -b )\) なので, 求める \(4\) 点の組は \[ \underline{\left( -\dfrac{2}{\sqrt{5}} \ , \dfrac{2}{\sqrt{5}} \right) , \ \left( \dfrac{2}{\sqrt{5}} \ , \dfrac{2}{\sqrt{5}} \right) , \ \left( \dfrac{2}{\sqrt{5}} \ , -\dfrac{2}{\sqrt{5}} \right) , \ \left( -\dfrac{2}{\sqrt{5}} \ , -\dfrac{2}{\sqrt{5}} \right)} \]

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【 解 答 】

(1)

\[\begin{align} n {} _ {2n} \text{C}{} _ {n} & = n \cdot \dfrac{2n (2n-1) \cdots (n+2) (n+1)}{n (n-1) (n-2) \cdots 1} \\ & = \dfrac{2n (2n-1) \cdots (n+2) (n+1)}{(n-1) (n-2)\cdots 1} \\ & = (n+1) \cdot \dfrac{2n (2n-1) \cdots (n+2)}{(n-1) (n-2)\cdots 1} \\ & = (n+1) {} _ {2n} \text{C}{} _ {n-1} \end{align}\] \(n\) と \(n+1\) は互いに素なので, \({} _ {2n} \text{C}{} _ {n}\) は \(n+1\) を約数にもつ, すなわち \(n+1\) の倍数である.

(2)

\(a_n \gt n+2\) ... [A] であることを帰納法を用いて示す.

1. 1*　\(n = 4\) のとき \[ a_4 = \dfrac{{} _ {8} \text{C}{} _ {4}}{5} = 15 \gt 4+2 \] なので, [A] が成立する.

2. 2*　\(n = k \ ( k \geqq 4 )\) のとき
   [A] が成立する, すなわち \[\begin{align} a_k & = \dfrac{{} _ {2k} \text{C}{} _ {k}}{k+1} \\ & = \dfrac{2k (2k-1) \cdots (k+2)}{k (k-1) \cdots 1} \gt k+2 \quad ... [1] \end{align}\] と仮定すると \[\begin{align} a _ {k+1} & = \dfrac{{} _ {2(k+1)} \text{C}{} _ {k+1}}{k+2} \\ & = \dfrac{(2k+2) (2k+1)}{(k+2) (k+1)} \cdot \dfrac{ 2k (2k-1) \cdots (k+2)}{k (k-1) \cdots 1} \\ & \gt \dfrac{2 (2k+1)}{k+2} \cdot (k+2) \quad ( \text{∵} \ [1] \ ) \\ & = 4k+2 \gt (k+1) +2 \quad ( \text{∵} \ k \geqq 4 \ ) \end{align}\] したがって, \(n = k+1\) のときも [A] が成立する.

1* 2* より, 題意は示された.

(3)

(1) の結果より, \(a_n\) は正の整数である.
(2) の途中経過から \[ a _ {n+1} = \dfrac{2 (2n+1)}{n+2} a _ {n} \] \(a_n\) が合成数であるとき, \(a_n\) と \(n+2\) の最大公約数を \(m\) として \[ a_n = mp \ , \ n+2 = mq \] と表せて, (2) の結果より \(p \geqq 2\) ... [2] , \(q \leqq n+2\) . \[ a _ {n+1} = \dfrac{2 (2n+1)}{q} p \] \(a _ {n+1}\) は整数なので, \(2 (2n+1) = rq \ ( \ r \text{は整数} )\) であり, \(2 (2n+1) \gt q\) だから \(r \geqq 2\) ... [3] .
ゆえに, [2] [3] より, \(a _ {n+1}\) も合成数となる. \[\begin{align} a_1 = \dfrac{{} _ {2} \text{C}{} _ {1}}{2} = 1 \ , & \quad a_2 = \dfrac{{} _ {4} \text{C}{} _ {2}}{3} = 2 \ , \\ a_3 = \dfrac{{} _ {6} \text{C}{} _ {3}}{4} = 5 \ , & \quad a_4 = \dfrac{{} _ {8} \text{C}{} _ {4}}{5} = 14 \end{align}\] したがって, \(n \geqq 4\) では \(a_n\) は素数ではない.
よって, 求める \(n\) は \[ n = \underline{2 , 3} \]

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【 解 答 】

(1)

\(\left| \overrightarrow{a} \right| = \left| \overrightarrow{b} \right| = \left| \overrightarrow{c} \right| = \left| \overrightarrow{d} \right| = 1\) であることを用いれば \[\begin{align} F & = 2 \left\{ 6 -2 \left( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} +\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} +\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} \right) \right\} \\ & \qquad -3 \left\{ 6 -2 \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right) \cdot \overrightarrow{d} \right\} \\ & = -6 -4 \left( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} +\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} +\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} \right) \\ & \qquad +6 \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right) \cdot \overrightarrow{d} \end{align}\] \(P = \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} -3 \overrightarrow{d} \right)\) とおくと \[\begin{align} P & = 3 +2 \left( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} +\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} +\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} \right) \\ & \qquad -3 \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right) \cdot \overrightarrow{d} \end{align}\] よって \[ F = -2 P \] と書けて \[ k = \underline{-2} \]

(2)

\(\overrightarrow{\text{OG}} = \overrightarrow{g} = \dfrac{\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c}}{3}\) とおくと \[\begin{align} F & = -18 \overrightarrow{g} \cdot \left( \overrightarrow{g} -\overrightarrow{d} \right) \\ & = -18 \left| \overrightarrow{g} -\dfrac{1}{2} \overrightarrow{d} \right|^2 +\dfrac{9}{2} \quad \left( \ \text{∵} \ \left| \overrightarrow{d} \right| = 1 \ \right) \\ & \leqq \dfrac{9}{2} \end{align}\] 等号成立は \(\overrightarrow{g} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{d}\) のときであるが,
点 G は \(\triangle \text{ABC}\) の重心なので \(S\) の内側にあり, \(\text{OG} = \dfrac{1}{2}\) となるように A, B, C をとって, 半直線 OG 上に D をとれば, 等号が成立する.
よって \[ M = \underline{\dfrac{9}{2}} \]

(3)

D の座標から, G \(\left( \dfrac{1}{2} , 0 , 0 \right)\) .
\(\overrightarrow{\text{OM}} = \overrightarrow{m} = \dfrac{\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}}{2}\) とおくと, M は AB の中点で \[\begin{align} \overrightarrow{g} & = \dfrac{2 \overrightarrow{m} +\overrightarrow{c}}{3} \\ \text{∴} \quad \overrightarrow{m} & = \dfrac{3 \overrightarrow{g} -\overrightarrow{c}}{2} \\ & = \dfrac{1}{2} \left( \begin{array}{c} \dfrac{3}{2} +\dfrac{1}{4} \\ \dfrac{\sqrt{15}}{4} \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \dfrac{7}{8} \\ \dfrac{\sqrt{15}}{8} \\ 0 \end{array} \right) \end{align}\] このとき, \(\left( \dfrac{7}{8} \right)^2 +\left( \dfrac{\sqrt{15}}{8} \right)^2 = 1\) なので, M は \(S\) 上にある.
A, B, M はすべて \(S\) 上にあるので, \(S\) の断面である同一円周上にあることになるが, これは \(3\) 点が一致する場合に限られる.
よって, 求める点の組は \[ \underline{\text{A} \ \left( \dfrac{7}{8} , \dfrac{\sqrt{15}}{8} , 0 \right) \ , \ \text{B} \ \left( \dfrac{7}{8} , \dfrac{\sqrt{15}}{8} , 0 \right)} \]

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【 解 答 】

(1)

点 \(( t , t^2 )\) が常に \(C\) の外側（境界含む）にある条件を求めればよいので \[\begin{align} t^2 +( t^2 -a )^2 & \geqq a^2 \\ t^2 \left( t^2 -2a +1 \right) & \geqq 0 \\ \text{∴} \quad t^2 -2a +1 & \geqq 0 \quad ( \ \text{∵} \ t^2 \geqq 0 \ ) \end{align}\] これが常に成立する条件は \[\begin{gather} -2a +1 \geqq 0 \\ \text{∴} \quad \underline{0 \lt a \leqq \dfrac{1}{2}} \end{gather}\]

(2)

\(x^2 -x^4 \leqq x^2\) なので, 点 \(( t , t^2 -t^4 )\) は, 点 \(( t , t^2 )\) の常に下側にあり, 点 \(( 0 , a )\) との距離が大きい.
ゆえに, (1) の結果より, \(0 \lt a \leqq \dfrac{1}{2}\) は条件をみたしている.
以下では, \(a \gt \dfrac{1}{2}\) のときについて考える.
点 \(( t , t^2 -t^4 )\) が常に \(C\) の外側（境界含む）にある条件を求めればよい.
\[\begin{align} t^2 +( t^2 -t^4 -a )^2 & \geqq a^2 \\ t^2 \left\{ t^6 -2t^4 +(2a+1) t^2 -2a +1 \right\} & \geqq 0 \\ \text{∴} \quad t^6 -2t^4 +(2a+1) t^2 -2a +1 & \geqq 0 \quad ( \ \text{∵} \ t^2 \geqq 0 \ ) \end{align}\] しかし, \(t = 0\) のとき \[ ( \text{左辺} ) = -2a +1 \lt 0 \] なので, 不等式は常には成立しない.
よって, 求める条件は \[ \underline{0 \lt a \leqq \dfrac{1}{2}} \]

(3)

領域 \(D\) は \(y\) 軸について対象なので, \(x \geqq 0\) の部分について考えればよい.
\(y = x^2 -x^4\) より \[ y' = 2x -4x^3 = -2x ( 2 x^2 -1 ) \] なので, \(|x| \leqq \dfrac{1}{\sqrt{2}} , \ 0 \leqq y \leqq \dfrac{1}{4} , \ y \geqq x^2 -x^4\) の示す領域 \(D_1\) は, 下図斜線部となる.

これの \(y\) 軸による回転体の体積 \(V_1\) は \[\begin{align} Ｖ_1 & = 2 \pi \displaystyle\int _ {0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} x \left( \dfrac{1}{4} -x^2 +x^4 \right) \, dx \\ & = 2 \pi \left[ \dfrac{x^2}{16} -\dfrac{x^4}{4} +\dfrac{x^6}{6} \right] _ {0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ & = 2\pi \left( \dfrac{1}{16} -\dfrac{1}{16} +\dfrac{\pi}{48} \right) = \dfrac{\pi}{24} \end{align}\]

1. 1*　\(0 \lt a \lt \dfrac{1}{8}\) のとき
   \(C\) 全体が \(y = \dfrac{1}{4}\) の下側にあり, \(C\) の \(y\) 軸による回転体の体積 \(V_2\) は \[ V_2 = \dfrac{4 a^3 \pi}{3} \] ゆえに, 求める体積 \(V\) は \[ V = V_1 -V_2 = \dfrac{\pi}{24} -\dfrac{4 a^3 \pi}{3} \]

2. 2*　\(\dfrac{1}{8} \leqq a \leqq \dfrac{1}{2}\) のとき
   \(C\) の一部が \(y = \dfrac{1}{4}\) の下側にあり, この部分の \(y\) 軸による回転体の体積 \(V_3\) は \[\begin{align} V_3 & = \pi \displaystyle\int _ {0}^{\frac{1}{4}} ( 2ay -y^2 ) \, dy \\ & = \pi \left[ ay^2 -\dfrac{y^3}{3} \right] _ {0}^{\frac{1}{4}} \\ & = \dfrac{a \pi}{16} -\dfrac{\pi}{192} \end{align}\] ゆえに, 求める体積 \(V\) は \[ V = V_1 -V_3 = \dfrac{3 \pi}{64} -\dfrac{a \pi}{16} \]

以上より \[ V = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{\pi}{24} -\dfrac{4 a^3 \pi}{3} & \left( \ 0 \lt a \lt \dfrac{1}{8} \text{のとき}\ \right) \\ \dfrac{3 \pi}{64} -\dfrac{a \pi}{16} & \left( \ \dfrac{1}{8} \leqq a \leqq \dfrac{1}{2} \text{のとき}\ \right) \end{array} \right.} \]

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