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以下の問いに答えよ.

1. (1)　正の整数 \(n\) に対して, 二項係数に関する次の等式を示せ. \[ n {} _ {2n} \text{C} {} _ {n} = (n+1) {} _ {2n} \text{C} {} _ {n-1} \] また, これを用いて \({} _ {2n} \text{C} {} _ {n}\) は \(n+1\) の倍数であることを示せ.

2. (2)　正の整数 \(n\) に対して, \[ a_n = \dfrac{{} _ {2n} \text{C} {} _ {n}}{n+1} \] とおく. このとき, \(n \geqq 4\) ならば \(a_n \gt n+2\) であることを示せ.

3. (3)　\(a_n\) が素数となる正の整数 \(n\) をすべて求めよ.

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【 解 答 】

(1)

\[\begin{align} n {} _ {2n} \text{C}{} _ {n} & = n \cdot \dfrac{2n (2n-1) \cdots (n+2) (n+1)}{n (n-1) (n-2) \cdots 1} \\ & = \dfrac{2n (2n-1) \cdots (n+2) (n+1)}{(n-1) (n-2)\cdots 1} \\ & = (n+1) \cdot \dfrac{2n (2n-1) \cdots (n+2)}{(n-1) (n-2)\cdots 1} \\ & = (n+1) {} _ {2n} \text{C}{} _ {n-1} \end{align}\] \(n\) と \(n+1\) は互いに素なので, \({} _ {2n} \text{C}{} _ {n}\) は \(n+1\) を約数にもつ, すなわち \(n+1\) の倍数である.

(2)

\(a_n \gt n+2\) ... [A] であることを帰納法を用いて示す.

1. 1*　\(n = 4\) のとき \[ a_4 = \dfrac{{} _ {8} \text{C}{} _ {4}}{5} = 15 \gt 4+2 \] なので, [A] が成立する.

2. 2*　\(n = k \ ( k \geqq 4 )\) のとき
   [A] が成立する, すなわち \[\begin{align} a_k & = \dfrac{{} _ {2k} \text{C}{} _ {k}}{k+1} \\ & = \dfrac{2k (2k-1) \cdots (k+2)}{k (k-1) \cdots 1} \gt k+2 \quad ... [1] \end{align}\] と仮定すると \[\begin{align} a _ {k+1} & = \dfrac{{} _ {2(k+1)} \text{C}{} _ {k+1}}{k+2} \\ & = \dfrac{(2k+2) (2k+1)}{(k+2) (k+1)} \cdot \dfrac{ 2k (2k-1) \cdots (k+2)}{k (k-1) \cdots 1} \\ & \gt \dfrac{2 (2k+1)}{k+2} \cdot (k+2) \quad ( \text{∵} \ [1] \ ) \\ & = 4k+2 \gt (k+1) +2 \quad ( \text{∵} \ k \geqq 4 \ ) \end{align}\] したがって, \(n = k+1\) のときも [A] が成立する.

1* 2* より, 題意は示された.

(3)

(1) の結果より, \(a_n\) は正の整数である.
(2) の途中経過から \[ a _ {n+1} = \dfrac{2 (2n+1)}{n+2} a _ {n} \] \(a_n\) が合成数であるとき, \(a_n\) と \(n+2\) の最大公約数を \(m\) として \[ a_n = mp \ , \ n+2 = mq \] と表せて, (2) の結果より \(p \geqq 2\) ... [2] , \(q \leqq n+2\) . \[ a _ {n+1} = \dfrac{2 (2n+1)}{q} p \] \(a _ {n+1}\) は整数なので, \(2 (2n+1) = rq \ ( \ r \text{は整数} )\) であり, \(2 (2n+1) \gt q\) だから \(r \geqq 2\) ... [3] .
ゆえに, [2] [3] より, \(a _ {n+1}\) も合成数となる. \[\begin{align} a_1 = \dfrac{{} _ {2} \text{C}{} _ {1}}{2} = 1 \ , & \quad a_2 = \dfrac{{} _ {4} \text{C}{} _ {2}}{3} = 2 \ , \\ a_3 = \dfrac{{} _ {6} \text{C}{} _ {3}}{4} = 5 \ , & \quad a_4 = \dfrac{{} _ {8} \text{C}{} _ {4}}{5} = 14 \end{align}\] したがって, \(n \geqq 4\) では \(a_n\) は素数ではない.
よって, 求める \(n\) は \[ n = \underline{2 , 3} \]