\(S\) を, 座標空間内の原点 O を中心とする半径 \(1\) の球面とする. \(S\) 上を動く点 A, B, C, D に対して \[ F = 2 ( \text{AB}^2 + \text{BC}^2 + \text{CA}^2 ) -3 ( \text{AD}^2 + \text{BD}^2 + \text{CD}^2 ) \] とおく. 以下の問いに答えよ.
(1) \(\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{c}\) , \(\overrightarrow{\text{OD}} = \overrightarrow{d}\) とするとき, \(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} , \overrightarrow{c} , \overrightarrow{d}\) によらない定数 \(k\) によって \[ F = k \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} -3 \overrightarrow{d} \right) \] と書けることを示し, 定数 \(k\) を求めよ.
(2) 点 A, B, C, D が球面 \(S\) 上を動くときの, \(F\) の最大値 \(M\) を求めよ.
(3) 点 C の座標が \(\left( -\dfrac{1}{4} , \dfrac{\sqrt{15}}{4} , 0 \right)\) , 点 D の座標が \(( 1 , 0 , 0 )\) であるとき, \(F = M\) となる \(S\) 上の点 A, B の組をすべて求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(\left| \overrightarrow{a} \right| = \left| \overrightarrow{b} \right| = \left| \overrightarrow{c} \right| = \left| \overrightarrow{d} \right| = 1\) であることを用いれば \[\begin{align} F & = 2 \left\{ 6 -2 \left( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} +\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} +\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} \right) \right\} \\ & \qquad -3 \left\{ 6 -2 \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right) \cdot \overrightarrow{d} \right\} \\ & = -6 -4 \left( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} +\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} +\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} \right) \\ & \qquad +6 \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right) \cdot \overrightarrow{d} \end{align}\] \(P = \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} -3 \overrightarrow{d} \right)\) とおくと \[\begin{align} P & = 3 +2 \left( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} +\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} +\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} \right) \\ & \qquad -3 \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right) \cdot \overrightarrow{d} \end{align}\] よって \[ F = -2 P \] と書けて \[ k = \underline{-2} \]
(2)
\(\overrightarrow{\text{OG}} = \overrightarrow{g} = \dfrac{\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c}}{3}\) とおくと
\[\begin{align}
F & = -18 \overrightarrow{g} \cdot \left( \overrightarrow{g} -\overrightarrow{d} \right) \\
& = -18 \left| \overrightarrow{g} -\dfrac{1}{2} \overrightarrow{d} \right|^2 +\dfrac{9}{2} \quad \left( \ \text{∵} \ \left| \overrightarrow{d} \right| = 1 \ \right) \\
& \leqq \dfrac{9}{2}
\end{align}\]
等号成立は \(\overrightarrow{g} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{d}\) のときであるが,
点 G は \(\triangle \text{ABC}\) の重心なので \(S\) の内側にあり, \(\text{OG} = \dfrac{1}{2}\) となるように A, B, C をとって, 半直線 OG 上に D をとれば, 等号が成立する.
よって
\[
M = \underline{\dfrac{9}{2}}
\]
(3)
D の座標から, G \(\left( \dfrac{1}{2} , 0 , 0 \right)\) .
\(\overrightarrow{\text{OM}} = \overrightarrow{m} = \dfrac{\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}}{2}\) とおくと, M は AB の中点で
\[\begin{align}
\overrightarrow{g} & = \dfrac{2 \overrightarrow{m} +\overrightarrow{c}}{3} \\
\text{∴} \quad \overrightarrow{m} & = \dfrac{3 \overrightarrow{g} -\overrightarrow{c}}{2} \\
& = \dfrac{1}{2} \left( \begin{array}{c} \dfrac{3}{2} +\dfrac{1}{4} \\ \dfrac{\sqrt{15}}{4} \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \dfrac{7}{8} \\ \dfrac{\sqrt{15}}{8} \\ 0 \end{array} \right)
\end{align}\]
このとき, \(\left( \dfrac{7}{8} \right)^2 +\left( \dfrac{\sqrt{15}}{8} \right)^2 = 1\) なので, M は \(S\) 上にある.
A, B, M はすべて \(S\) 上にあるので, \(S\) の断面である同一円周上にあることになるが, これは \(3\) 点が一致する場合に限られる.
よって, 求める点の組は
\[
\underline{\text{A} \ \left( \dfrac{7}{8} , \dfrac{\sqrt{15}}{8} , 0 \right) \ , \ \text{B} \ \left( \dfrac{7}{8} , \dfrac{\sqrt{15}}{8} , 0 \right)}
\]