\(xy\) 平面上の円 \(C : x^2 +(y-a)^2 = a^2 \ ( a \gt 0 )\) を考える. 以下の問いに答えよ.
(1) 円 \(C\) が \(y \geqq x^2\) で表される領域に含まれるための \(a\) の範囲を求めよ.
(2) 円 \(C\) が \(y \geqq x^2 -x^4\) で表される領域に含まれるための \(a\) の範囲を求めよ.
(3) \(a\) が (2) の範囲にあるとする. \(xy\) 平面において連立不等式 \[ | x | \leqq \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ , \ 0 \leqq y \leqq \dfrac{1}{4} \ , \ y \geqq x^2 -x^4 \ , \ x^2 +(y-a)^2 \geqq a^2 \] で表される領域 \(D\) を, \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
点 \(( t , t^2 )\) が常に \(C\) の外側（境界含む）にある条件を求めればよいので \[\begin{align} t^2 +( t^2 -a )^2 & \geqq a^2 \\ t^2 \left( t^2 -2a +1 \right) & \geqq 0 \\ \text{∴} \quad t^2 -2a +1 & \geqq 0 \quad ( \ \text{∵} \ t^2 \geqq 0 \ ) \end{align}\] これが常に成立する条件は \[\begin{gather} -2a +1 \geqq 0 \\ \text{∴} \quad \underline{0 \lt a \leqq \dfrac{1}{2}} \end{gather}\]
(2)
\(x^2 -x^4 \leqq x^2\) なので, 点 \(( t , t^2 -t^4 )\) は, 点 \(( t , t^2 )\) の常に下側にあり, 点 \(( 0 , a )\) との距離が大きい.
ゆえに, (1) の結果より, \(0 \lt a \leqq \dfrac{1}{2}\) は条件をみたしている.
以下では, \(a \gt \dfrac{1}{2}\) のときについて考える.
点 \(( t , t^2 -t^4 )\) が常に \(C\) の外側（境界含む）にある条件を求めればよい.
\[\begin{align}
t^2 +( t^2 -t^4 -a )^2 & \geqq a^2 \\
t^2 \left\{ t^6 -2t^4 +(2a+1) t^2 -2a +1 \right\} & \geqq 0 \\
\text{∴} \quad t^6 -2t^4 +(2a+1) t^2 -2a +1 & \geqq 0 \quad ( \ \text{∵} \ t^2 \geqq 0 \ )
\end{align}\]
しかし, \(t = 0\) のとき
\[
( \text{左辺} ) = -2a +1 \lt 0
\]
なので, 不等式は常には成立しない.
よって, 求める条件は
\[
\underline{0 \lt a \leqq \dfrac{1}{2}}
\]
(3)
領域 \(D\) は \(y\) 軸について対象なので, \(x \geqq 0\) の部分について考えればよい.
\(y = x^2 -x^4\) より
\[
y' = 2x -4x^3 = -2x ( 2 x^2 -1 )
\]
なので, \(|x| \leqq \dfrac{1}{\sqrt{2}} , \ 0 \leqq y \leqq \dfrac{1}{4} , \ y \geqq x^2 -x^4\) の示す領域 \(D_1\) は, 下図斜線部となる.
これの \(y\) 軸による回転体の体積 \(V_1\) は \[\begin{align} Ｖ_1 & = 2 \pi \displaystyle\int _ {0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} x \left( \dfrac{1}{4} -x^2 +x^4 \right) \, dx \\ & = 2 \pi \left[ \dfrac{x^2}{16} -\dfrac{x^4}{4} +\dfrac{x^6}{6} \right] _ {0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ & = 2\pi \left( \dfrac{1}{16} -\dfrac{1}{16} +\dfrac{\pi}{48} \right) = \dfrac{\pi}{24} \end{align}\]
1* \(0 \lt a \lt \dfrac{1}{8}\) のとき
\(C\) 全体が \(y = \dfrac{1}{4}\) の下側にあり, \(C\) の \(y\) 軸による回転体の体積 \(V_2\) は \[ V_2 = \dfrac{4 a^3 \pi}{3} \] ゆえに, 求める体積 \(V\) は \[ V = V_1 -V_2 = \dfrac{\pi}{24} -\dfrac{4 a^3 \pi}{3} \]2* \(\dfrac{1}{8} \leqq a \leqq \dfrac{1}{2}\) のとき
\(C\) の一部が \(y = \dfrac{1}{4}\) の下側にあり, この部分の \(y\) 軸による回転体の体積 \(V_3\) は \[\begin{align} V_3 & = \pi \displaystyle\int _ {0}^{\frac{1}{4}} ( 2ay -y^2 ) \, dy \\ & = \pi \left[ ay^2 -\dfrac{y^3}{3} \right] _ {0}^{\frac{1}{4}} \\ & = \dfrac{a \pi}{16} -\dfrac{\pi}{192} \end{align}\] ゆえに, 求める体積 \(V\) は \[ V = V_1 -V_3 = \dfrac{3 \pi}{64} -\dfrac{a \pi}{16} \]
以上より \[ V = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{\pi}{24} -\dfrac{4 a^3 \pi}{3} & \left( \ 0 \lt a \lt \dfrac{1}{8} \text{のとき}\ \right) \\ \dfrac{3 \pi}{64} -\dfrac{a \pi}{16} & \left( \ \dfrac{1}{8} \leqq a \leqq \dfrac{1}{2} \text{のとき}\ \right) \end{array} \right.} \]