整式 \(f(x) = x^4 -x^2 +1\) について, 以下の問に答えよ.
(1) \(x^6\) を \(f(x)\) で割ったときの余りを求めよ.
(2) \(x^{2021}\) を \(f(x)\) で割ったときの余りを求めよ.
(3) 自然数 \(n\) が \(3\) の倍数であるとき, \(( x^2 -1 )^n -1\) が \(f(x)\) で割り切れることを示せ.
【 解 答 】
(1)
\[ x^6 +1 = ( x^2 +1 ) ( x^4 -x^2 +1 ) \] なので \[ x^6 = ( x^2 +1 ) f(x) -1 \] よって, 余りは \[ \underline{-1} \]
(2)
\(2021 = 6 \cdot 366 +5\) なので \[\begin{align} x^{2021} & = x^5 \left\{ ( x^2 +1 ) f(x) -1 \right\}^{366} \\ & = x^5 \left\{ P(x) f(x) +(-1)^{336} \right\} \\ & = \left\{ x^5 P(x) +1 \right\} f(x) +x^3 -x \end{align}\] よって, 余りは \[ \underline{x^3 -x} \] ただし \[ P(x) = \textstyle\sum\limits _ {k=0}^{335} {} _ {336} \text{C}{} _ {k} (-1)^k ( x^2 +1 )^{336-k} \left\{ f(x) \right\}^{335-k} \] とおいた.
(3)
帰納法を用いて示す.
1* \(n=3\) のとき \[\begin{align} ( x^2 -1 )^3 -1 & = x^6 -3x^4 +3x^2 -2 \\ & = ( x^2 -2 ) f(x) \end{align}\] で, \(f(x)\) で割り切れる.
2* \(n = 3m\) （\(m\) は自然数）のとき \[ ( x^2 -1 )^{3m} -1 = Q(x) f(x) \] と, \(f(x)\) で割り切れると仮定すると \[\begin{align} ( x^2 -1 )^{3m+3} -1 & = ( x^2 -1 )^3 ( x^2 -1 )^{3m} -1 \\ & = \left\{ ( x^2 -2 ) f(x) +1 \right\} \left\{ Q(x) f(x) +1 \right\} -1 \\ & = R(x) f(x) +1 -1 \\ & = R(x) f(x) \end{align}\] で, \(n = 3m+3\) のときも, \(f(x)\) で割り切れる.
ただし \[ R(x) = \left\{ ( x^2 -2 ) f(x) +1 \right\} Q(x) +( x^2 -2 ) \] とおいた.
1* 2* より, 題意は示された.