複素数 \(\alpha = 2 +i\) , \(\beta = -\dfrac{1}{2} +i\) に対応する複素数平面上の点を \(\text{A} ( \alpha ) , \text{B} ( \beta )\) とする.
このとき, 以下の問に答えよ.
【 解 答 】
(1)
条件より
\[\begin{align}
\alpha^2 & = 3 +4i \ , \\
\beta^2 & = -\dfrac{3}{4} -i = -\dfrac{1}{4} \alpha^2
\end{align}\]
よって, O, C, D は一直線上にある.
(2)
\(z = u +i\) と表せる.
\[
z^2 = u^2 -1 +2u i
\]
なので
\[
\left\{ \begin{array}{ll} x = u^2 -1 & ... [1] \\ y = 2u & ... [2] \end{array} \right.
\]
[2] より, \(u = \dfrac{y}{2}\) で, [1] に代入して
\[
x = \dfrac{y^2}{4} -1
\]
よって, 求める軌跡の式は
\[
\underline{x = \dfrac{y^2}{4} -1}
\]
(3)
線分 AB 上を \(z\) が動くとき, (2) で考えた中で \(-\dfrac{1}{2} \leqq u \leqq 2\) の範囲を動き,
\(z^2\) は \(-1 \leqq y \leqq 4\) の範囲を動く.
\(z\) が \(\triangle \text{OAB}\) を動くとき, 線分 AB 上の点 \(z'\) に対して
\[
z = k z' \ ( 0 \leqq k \leqq 1 )
\]
と表せる.
\[
z^2 = k^2 {z'}^2 \ , \ 0 \leqq k^2 \leqq 1
\]
なので, 求める図形は, 点 \({z'}^2\) の軌跡
\[
x = \dfrac{y^2}{4} -1 \ ( -1 \leqq y \leqq 4 )
\]
と原点を結ぶ線分全体が表す領域で, 下図斜線部(境界を含む).
(4)
直線 CD の式は \(x = \dfrac{3}{4} y\) なので, 求める面積 \(S\) は
\[\begin{align}
S & = \displaystyle\int _ {-1}^{4} \left( \dfrac{3}{4} y -\dfrac{y^2}{4} +1 \right) \, dy \\
& = -\dfrac{1}{4} \displaystyle\int _ {-1}^{4} (x+1) (x-4) \, dy \\
& = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{6} ( 4+1 )^3 \\
& = \underline{\dfrac{125}{24}}
\end{align}\]
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