複素数 \(\alpha = 2 +i\) , \(\beta = -\dfrac{1}{2} +i\) に対応する複素数平面上の点を \(\text{A} ( \alpha ) , \text{B} ( \beta )\) とする. このとき, 以下の問に答えよ.
(1) 複素数平面上の点 \(\text{C} ( \alpha^2 )\) , \(\text{D} ( \beta^2 )\) と原点 O の \(3\) 点は一直線上にあることを示せ.
(2) 点 \(\text{P} (z)\) が直線 AB 上を動くとき, \(z^2\) の実部を \(x\) , 虚部を \(y\) として, 点 \(\text{Q} ( z^2 )\) の軌跡を \(x , y\) の方程式で表せ.
(3) 点 \(\text{P} (z)\) が三角形 OAB の周および内部にあるとき, 点 \(\text{Q} ( z^2 )\) 全体のなす図形を \(K\) とする. \(K\) を複素数平面上に図示せよ.
(4) (3) の図形 \(K\) の面積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
条件より \[\begin{align} \alpha^2 & = 3 +4i \ , \\ \beta^2 & = -\dfrac{3}{4} -i = -\dfrac{1}{4} \alpha^2 \end{align}\] よって, O, C, D は一直線上にある.
(2)
\(z = u +i\) と表せる. \[ z^2 = u^2 -1 +2u i \] なので \[ \left\{ \begin{array}{ll} x = u^2 -1 & ... [1] \\ y = 2u & ... [2] \end{array} \right. \] [2] より, \(u = \dfrac{y}{2}\) で, [1] に代入して \[ x = \dfrac{y^2}{4} -1 \] よって, 求める軌跡の式は \[ \underline{x = \dfrac{y^2}{4} -1} \]
(3)
線分 AB 上を \(z\) が動くとき, (2) で考えた中で \(-\dfrac{1}{2} \leqq u \leqq 2\) の範囲を動き,
\(z^2\) は \(-1 \leqq y \leqq 4\) の範囲を動く.
\(z\) が \(\triangle \text{OAB}\) を動くとき, 線分 AB 上の点 \(z'\) に対して
\[
z = k z' \ ( 0 \leqq k \leqq 1 )
\]
と表せる.
\[
z^2 = k^2 {z'}^2 \ , \ 0 \leqq k^2 \leqq 1
\]
なので, 求める図形は, 点 \({z'}^2\) の軌跡
\[
x = \dfrac{y^2}{4} -1 \ ( -1 \leqq y \leqq 4 )
\]
と原点を結ぶ線分全体が表す領域で, 下図斜線部（境界を含む）.
(4)
直線 CD の式は \(x = \dfrac{3}{4} y\) なので, 求める面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = \displaystyle\int _ {-1}^{4} \left( \dfrac{3}{4} y -\dfrac{y^2}{4} +1 \right) \, dy \\ & = -\dfrac{1}{4} \displaystyle\int _ {-1}^{4} (x+1) (x-4) \, dy \\ & = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{6} ( 4+1 )^3 \\ & = \underline{\dfrac{125}{24}} \end{align}\]