\(n , k\) を \(2\) 以上の自然数とする. \(n\) 個の箱の中に \(k\) 個の玉を無作為に入れ, 各箱に入った玉の個数を数える. その最大値と最小値の差が \(\ell\) となる確率を \(P _ {\ell} \ ( 0 \leqq \ell \leqq k )\) とする. このとき, 以下の問に答えよ.
(1) \(n = 2\) , \(k = 3\) のとき, \(P_0 , P_1 , P_2 , P_3\) を求めよ.
(2) \(n \geqq 2\) , \(k = 2\) のとき, \(P_0 , P_1 , P_2\) を求めよ.
(3) \(n \geqq 3\) , \(k = 3\) のとき, \(P_0 , P_1 , P_2 , P_3\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
玉の入れ方は, \(2^3 = 8\) 通り.
\(\ell = 0 , 2\) にはならないので
\[
P_0 = P_2 = 0
\]
\(\ell = 3\) になるのは, 玉を入れる箱の選び方が \(2\) 通りあるので
\[
P_3 = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}
\]
\(\ell = 1\) になるのは, 余事象を考えて
\[
P_1 = 1 -\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}
\]
以上より
\[
P_0 = \underline{0} \ , \ P_1 = \underline{\dfrac{3}{4}} \ , \ P_2 = \underline{0} \ , \ P_3 = \underline{\dfrac{1}{4}}
\]
(2)
1* \(n = 2\) のとき
玉の入れ方は \(2^2 = 4\) 通り.
\(\ell = 1\) にはならないので \[ P_1 = 0 \] \(\ell = 2\) になるのは, 玉を入れる箱の選び方が \(2\) 通りあるので \[ P_2 ＝\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \] \(\ell = 0\) になるのは, 余事象を考えて \[ P_1 = 1 -\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \]2* \(n \geqq 3\) のとき
玉の入れ方は \(n^2\) 通り.
\(\ell = 0\) にはならないので \[ P_0 = 0 \] \(\ell = 2\) になるのは, 玉を入れる箱の選び方が \(n\) 通りあるので \[ P_2 ＝\dfrac{n}{n^2} = \dfrac{1}{n} \] \(\ell = 1\) になるのは, 余事象を考えて \[ P_1 = 1 -\dfrac{1}{n} = \dfrac{n-1}{n} \]
以上より, 求める確率は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} P_0 = \dfrac{1}{2} \ , \ P_1 = 0 \ , \ P_2 = \dfrac{1}{2} & ( \ n = 2 \ \text{のとき} \ ) \\ P_0 = 0 \ , \ P_1 = \dfrac{n-1}{n} \ , \ P_2 = \dfrac{1}{n} & ( \ n \geqq 3 \ \text{のとき} \ ) \end{array} \right.} \]
(3)
1* \(n = 3\) のとき
玉の入れ方は \(3^3 = 27\) 通り.
\(\ell = 1\) にはならないので \[ P_1 = 0 \] \(\ell = 0\) になるのは, \(3\) 個の箱に \(1\) つずつ玉を入れる方法は \(3 ! = 6\) 通りあるので \[ P_0 = \dfrac{6}{27} = \dfrac{2}{9} \] \(\ell = 3\) になるのは, 玉を入れる箱の選び方が \(3\) 通りあるので \[ P_3 = \dfrac{3}{27} = \dfrac{1}{9} \] \(\ell = 2\) になるのは, 余事象を考えて \[ P_2 = 1 -\dfrac{2}{9} -\dfrac{1}{9} = \dfrac{2}{3} \]2* \(n \geqq 4\) のとき
玉の入れ方は \(n^3\) 通り.
\(\ell = 0\) にはならないので \[ P_0 = 0 \] \(\ell = 3\) になるのは, 玉を入れる箱の選び方が \(n\) 通りあるので \[ P_3 = \dfrac{n}{n^3} = \dfrac{1}{n^2} \] \(\ell = 1\) になるのは, \(n\) 個の箱のうち \(3\) 個の箱に \(1\) つずつ玉を入れる方法は \({} _ {n} \text{P}{} _ {3} = n (n-1) (n-2)\) 通りあるので \[ P_1 = \dfrac{n (n-1) (n-2)}{n^3} = \dfrac{(n-1) (n-2)}{n^2} \] \(\ell = 2\) になるのは, 余事象を考えて \[ P_2 = 1 -\dfrac{1}{n^2} -\dfrac{(n-1) (n-2)}{n^2} = \dfrac{3 (n-1)}{n^2} \]
以上より, 求める確率は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} P_0 = \dfrac{2}{9} \ , \ P_1 = 0 \ , \ P_2 = \dfrac{2}{3} \ , \ P_3 = \dfrac{1}{9} & ( \ n = 3 \ \text{のとき} \ ) \\ P_0 = 0 \ , \ P_1 = \dfrac{(n-1) (n-2)}{n^2} \ , \ P_2 = \dfrac{3 (n-1)}{n^2} \ , \ P_3 = \dfrac{1}{n^2} & ( \ n \geqq 4 \ \text{のとき} \ ) \end{array} \right.} \]