正四面体 OABC に対し, 三角形 ABC の外心を M とし, M を中心として点 A, B, C を通る球面を \(S\) とする. また, \(S\) と辺 OA, OB, OC との交点のうち, A, B, C とは異なるものをそれぞれ D, E, F とする. さらに, \(S\) と三角形 OAB の共通部分として得られる弧 DE を考え, その弧を含む円周の中心を G とする. \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{\text{OA}}\) , \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{\text{OB}}\) , \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{\text{OC}}\) として, 以下の問に答えよ.
(1) \(\overrightarrow{\text{OD}} , \overrightarrow{\text{OE}} , \overrightarrow{\text{OF}} , \overrightarrow{\text{OG}}\) を \(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} , \overrightarrow{c}\) を用いて表せ.
(2) 三角形 OAB の面積を \(S_1\) , 四角形 ODGE の面積を \(S_2\) とするとき, \(S_1 : S_2\) をできるだけ簡単な整数比により表せ.
【 解 答 】
(1)
正四面体の \(1\) 辺の長さを \(1\) としても一般性を失わない.
このとき
\[\begin{align}
& \left| \overrightarrow{a} \right| = \left| \overrightarrow{b} \right| = \left| \overrightarrow{c} \right| = 1 \ , \\
& \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = 1 \cdot 1 \cdot \cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}
\end{align}\]
\(\triangle \text{ABC}\) は正三角形で外心と重心が一致するので
\[
\overrightarrow{\text{OM}} = \dfrac{1}{3} \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right)
\]
ゆえに
\[
\overrightarrow{\text{AM}} = \overrightarrow{\text{OM}} -\overrightarrow{\text{OA}} = -\dfrac{2}{3} \overrightarrow{a} +\dfrac{\overrightarrow{b}}{3} +\dfrac{\overrightarrow{c}}{3}
\]
なので
\[\begin{align}
\left| \overrightarrow{\text{AM}} \right|^2 & = \dfrac{4}{9} +2 \cdot \dfrac{1}{9} -2 \cdot \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{1}{2} +\dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{1}{2} \\
& = \dfrac{6 -4 +1}{9} = \dfrac{1}{3}
\end{align}\]
したがって, \(S\) の半径 \(R\) は, \(R = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\) .
\(\overrightarrow{\text{OD}} = t \overrightarrow{a} \ ( 0 \lt t \lt 1 )\) とおけば
\[
\overrightarrow{\text{DM}} = \overrightarrow{\text{OM}} -\overrightarrow{\text{OD}} = \left( \dfrac{1}{3} -t \right) \overrightarrow{a} +\dfrac{\overrightarrow{b}}{3} +\dfrac{\overrightarrow{c}}{3}
\]
なので
\[\begin{align}
\left| \overrightarrow{\text{DM}} \right|^2 =
\left( \dfrac{1}{3} -t \right)^2 + & 2 \cdot \dfrac{1}{9} -2 \cdot \dfrac{1 -3t}{9} +\dfrac{1}{9} \\
= \dfrac{2}{3} -\dfrac{4}{3} t +t^2 & = \dfrac{1}{3} \\
\text{∴} \quad 3t^2 -4t +1 & = 0 \\
( 3t -1 ) (t-1) & = 0 \\
\text{∴} \quad t & = \dfrac{1}{3}
\end{align}\]
よって
\[
\overrightarrow{\text{OD}} = \underline{\dfrac{1}{3} \overrightarrow{a}}
\]
E, F についても同様に考えて
\[
\overrightarrow{\text{OE}} = \underline{\dfrac{1}{3} \overrightarrow{b}} \ , \ \overrightarrow{\text{OF}} = \underline{\dfrac{1}{3} \overrightarrow{c}}
\]
A, B, D, E は同一円周上にあり, 対称性から \(\overrightarrow{\text{OG}} = s \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right)\) とおける.
\[\begin{align}
\overrightarrow{\text{AG}} & = \overrightarrow{\text{OG}} -\overrightarrow{\text{OA}} = (s-1) \overrightarrow{a} +s \overrightarrow{b} \ , \\
\left| \overrightarrow{\text{AG}} \right|^2 & = (s-1)^2 +s^2 +s (s-1) \\
& = 3 s^2 -3s +1
\end{align}\]
また
\[\begin{align}
\overrightarrow{\text{DG}} & = \overrightarrow{\text{OG}} -\overrightarrow{\text{OD}} = \left( s -\dfrac{1}{3} \right) \overrightarrow{a} +s \overrightarrow{b} \ , \\
\left| \overrightarrow{\text{DG}} \right|^2 & = \left( s -\dfrac{1}{3} \right)^2 +s^2 +s \left( s -\dfrac{1}{3} \right) \\
& = 3 s^2 -s +\dfrac{1}{9}
\end{align}\]
\(\left| \overrightarrow{\text{AG}} \right| = \left| \overrightarrow{\text{DG}} \right|\) なので
\[\begin{align}
3 s^2 -3s +1 & = 3s^2 -s +\dfrac{1}{9} \\
2s & = \dfrac{8}{9} \\
\text{∴} \quad s & = \dfrac{4}{9}
\end{align}\]
よって
\[
\overrightarrow{\text{OG}} = \underline{\dfrac{4}{9} \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right)}
\]
(3)
AB の中点を N とおく.
対称性から, \(\triangle \text{OAN} : \triangle \text{ODG}\) を考えればよい.
\[
\text{OA} : \text{OD} = 3 : 1
\]
\(\overrightarrow{\text{OG}} = \dfrac{8}{9} \overrightarrow{\text{ON}}\) なので
\[
\text{ON} : \text{OG} = 9 : 8
\]
よって, 求める比は
\[
S_1 : S_2 = 3 \cdot 9 : 1 \cdot 8 = \underline{27 : 8}
\]