以下の問いに答えよ. ただし, (1) については, 結論のみを書けばよい.
(1) \(n\) を正の整数とする. \(3^n\) を \(10\) で割った余りを \(a_n\) とする. \(a_n\) を求めよ.
(2) \(n\) を正の整数とし, する. \(3^n\) を \(4\) で割った余りを \(b_n\) とする. \(b_n\) を求めよ.
(3) 数列 \(\{ x_n \}\) を次のように定める. \[ x_1 = 1 , \quad x _ {n+1} = 3^{ x_n } \ ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] \(x_{10}\) を \(10\) で割った余りを求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(3^4 \equiv 81 \equiv 1 \ ( \text{mod} \ 10 )\) なので \[ a _ {n+4} = a_n \] よって, \(a_1 = 3\) , \(a_2 = 9\) , \(a_3 = 7\) , \(a_4 = 1\) より \[ a_n = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 3 & ( \ n \equiv 1 \ ( \text{mod} \ 4 ) \ \text{のとき} \ ) \\ 9 & ( \ n \equiv 2 \ ( \text{mod} \ 4 ) \ \text{のとき} \ ) \\ 7 & ( \ n \equiv 3 \ ( \text{mod} \ 4 ) \ \text{のとき} \ ) \\ 1 & ( \ n \equiv 0 \ ( \text{mod} \ 4 ) \ \text{のとき} \ ) \end{array} \right.} \]
(2)
\(3^2 \equiv 9 \equiv 1 \ ( \text{mod} \ 4 )\) なので \[ b _ {n+2} = b_n \] よって, \(b_1 = 3\) , \(b_2 = 1\) より \[ b_n = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 3 & ( \ n \ \text{が奇数のとき} \ ) \\ 1 & ( \ n \ \text{が偶数のとき} \ ) \end{array} \right.} \]
(3)
条件より, \(n \geqq 2\) のとき, \(x_n\) は \(3\) の累乗なので, 奇数である.
ゆえに, (2) の結果から, \(3^{x _n}\) は \(4\) で割ると \(3\) 余る.
さらに, (1) の結果から, \(n \geqq 3\) のとき, \(x_n\) は \(10\) で割ると \(7\) 余る.
よって, 求める余りは
\[
\underline{7}
\]