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【 解 答 】

\[\begin{align} \text{PQ}^2 & = 4 ( x^2 +y^2 ) \ , \\ \text{PR}^2 & = ( x-1 )^2 +y^2 \ , \\ \text{QR}^2 & = ( x+1 )^2 +y^2 \end{align}\] 点 P が \(x\) 軸上にあると, \(3\) 点が一直線上に並んでしまうので \[ y \neq 0 \quad ... [1] \] △PQR が鋭角三角形になる条件は \[ \left\{ \begin{array}{ll} \text{PQ}^2 \lt \text{PR}^2 +\text{QR}^2 & \quad ... [2] \\ \text{PR}^2 \lt \text{QR}^2 +\text{PQ}^2 & \quad ... [3] \\ \text{QR}^2 \lt \text{PQ}^2 +\text{PR}^2 & \quad ... [4] \end{array} \right. \] [2] より \[\begin{align} 4 x^2 +4 y^2 & \lt 2 x^2 +2 y^2 +2 \\ \text{∴} \quad x^2 +y^2 & \lt 1 \end{align}\] [3] より \[\begin{align} -2x & \lt 4 x^2 +4 y^2+2x \\ x^2 +x +y^2 & \gt 0 \\ \text{∴} \quad \left( x +\dfrac{1}{2} \right)^2 +y^2 & \gt \dfrac{1}{4} \end{align}\] [4] より \[\begin{align} 2x & \lt 4 x^2 +4 y^2-2x \\ x^2 -x +y^2 & \gt 0 \\ \text{∴} \quad \left( x -\dfrac{1}{2} \right)^2 +y^2 & \gt \dfrac{1}{4} \end{align}\] よって, 求める条件は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{l} x^2 +y^2 \lt 1 \\ \left( x +\dfrac{1}{2} \right)^2 +y^2 \gt \dfrac{1}{4} \\ \left( x -\dfrac{1}{2} \right)^2 +y^2 \gt \dfrac{1}{4} \end{array} \right.} \] 図示すると, 下図斜線部（境界は含まない）. これは, [1] も満たしている.

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【 解 答 】

(1)

A が優勝するのは, 次の \(2\) 通りが考えられる.

1. 1*　以下の \(3\) 試合のセットが \(0\) 回以上繰り返された後に, A が B , C に連勝する.

   • A 対 B で A が勝つ

   • A 対 C で C が勝つ

   • B 対 C で B が勝つ

2. 2*　以下の \(3\) 試合のセットが \(1\) 回以上繰り返された後に, A が B に勝つ.

   • A 対 B で B が勝つ

   • B 対 C で C が勝つ

   • A 対 C で A が勝つ

\(5\) 試合目に A が優勝するのは, 1* の場合に当たり, 求める確率は \[ \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{4} = \underline{\dfrac{1}{32}} \]

(2)

1* の場合, A が \(n = 3m-1 \ ( m \geqq 1 )\) 試合目で優勝し, その確率は \[ \left( \dfrac{1}{8} \right)^{m-1} \cdot \dfrac{1}{4} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3m-1} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \] 2* の場合, A が \(n = 3m+1 \ ( m \geqq 1 )\) 試合目で優勝し, その確率は \[ \left( \dfrac{1}{8} \right)^m \cdot \dfrac{1}{2} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3m+1} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \] よって, 求める確率は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 0 & ( \ n \ \text{が} \ 3 \ \text{の倍数のとき} \ ) \\ \left( \dfrac{1}{2} \right)^n & ( \ n \ \text{が} \ 3 \ \text{の倍数でないとき} \ ) \end{array} \right.} \]

(3)

(2) の結果から, 求める確率は \[\begin{align} & \textstyle\sum\limits _ {k=2}^{3m} \left( \dfrac{1}{2} \right)^k -\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{m} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3k} \\ & \quad = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1 -\left( \dfrac{1}{2} \right)^{3m}}{1 -\dfrac{1}{2}} -\dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1 -\left( \dfrac{1}{8} \right)^m}{1 -\dfrac{1}{8}} \\ & \quad = \dfrac{1}{2} -\left( \dfrac{1}{8} \right)^m -\dfrac{1}{7} \left\{ 1 -\left( \dfrac{1}{8} \right)^m \right\} \\ & \quad = \underline{\dfrac{5}{14} -\dfrac{6}{7} \left( \dfrac{1}{8} \right)^m} \end{align}\]

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【 解 答 】

(1)

A の式より \[ y' = 2x \] B の式より \[ y' = -2x +p \] A , B が 点 \(( -1 , 1 )\) で接するので, 傾きに着目して \[\begin{align} -2 & = 2+p \\ \text{∴} \quad p & = \underline{-4} \end{align}\] また \[\begin{align} 1 & = -1 +4 +q \\ \text{∴} \quad q & = \underline{-2} \end{align}\]

(2)

C の式は \[\begin{align} y & = -( x -2t )^2 -4 ( x -2t ) -2 +t \\ & = -x^2 +4 ( t-1 ) x -4t^2 +9t -2 \end{align}\] A , C の式より, \(y\) を消去すれば \[ 2x^2 -4 ( t-1 ) x +4t^2 -9t +2 = 0 \quad ... [1] \] [1] の判別式を \(D\) とすれば \[\begin{align} \dfrac{D}{4} & = 4 ( t-1 )^2 -2 ( 4t^2 -9t +2 ) \\ & = -4 t^2 +10 t \\ & = -4 t \left( t -\dfrac{5}{2} \right) \end{align}\]

1. 1*　\(D \gt 0\) すなわち \(0 \lt t \lt \dfrac{5}{2}\) のとき
   [1] の \(2\) 解を \(\alpha , \beta \ ( \alpha \lt \beta )\) とおけば \[ \alpha = \dfrac{2 ( t-1 ) -\sqrt{D}}{2} , \ \beta = \dfrac{2 ( t-1 ) +\sqrt{D}}{2} \] なので \[ \beta -\alpha = \dfrac{\sqrt{D}}{2} \] A , C はそれぞれ下, 上に凸の放物線なので \[\begin{align} S(t) & = \displaystyle\int _ {\alpha}^{\beta} ( [1] \text{の左辺} ) \, dx \\ & = \dfrac{2}{6} ( \beta -\alpha )^3 \\ & = \dfrac{1}{3} \left( \underline{-4t^2 +10t} _ {[2]} \right)^{\frac{3}{2}} \end{align}\]

2. 2*　\(D \leqq 0\) すなわち \(t \geqq \dfrac{5}{2}\) のとき
   A と C は領域を囲まないので \[ S(t) = 0 \]

以上より \[ S(t) = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{1}{3} \left( -4t^2 +10t \right)^{\frac{3}{2}} & \left( \ 0 \lt t \lt \dfrac{5}{2} \ \text{のとき} \right) \\ 0 & \left( \ t \geqq \dfrac{5}{2} \ \text{のとき} \right) \end{array} \right.} \]

(3)

\(0 \lt t \lt \dfrac{5}{2}\) のときについて考えればよい.
下線部 [2] を \(f(t)\) とおけば \[ f(t) = -4 \left( t -\dfrac{5}{4} \right)^2 +\dfrac{25}{4} \] よって, 求める最大値は \[ \dfrac{1}{3} \{ f(4) \}^{\frac{3}{2}} = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{25}{4} \right)^{\frac{3}{2}} = \underline{\dfrac{125}{24}} \]

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【 解 答 】

(1)

\(3^4 \equiv 81 \equiv 1 \ ( \text{mod} \ 10 )\) なので \[ a _ {n+4} = a_n \] よって, \(a_1 = 3\) , \(a_2 = 9\) , \(a_3 = 7\) , \(a_4 = 1\) より \[ a_n = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 3 & ( \ n \equiv 1 \ ( \text{mod} \ 4 ) \ \text{のとき} \ ) \\ 9 & ( \ n \equiv 2 \ ( \text{mod} \ 4 ) \ \text{のとき} \ ) \\ 7 & ( \ n \equiv 3 \ ( \text{mod} \ 4 ) \ \text{のとき} \ ) \\ 1 & ( \ n \equiv 0 \ ( \text{mod} \ 4 ) \ \text{のとき} \ ) \end{array} \right.} \]

(2)

\(3^2 \equiv 9 \equiv 1 \ ( \text{mod} \ 4 )\) なので \[ b _ {n+2} = b_n \] よって, \(b_1 = 3\) , \(b_2 = 1\) より \[ b_n = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 3 & ( \ n \ \text{が奇数のとき} \ ) \\ 1 & ( \ n \ \text{が偶数のとき} \ ) \end{array} \right.} \]

(3)

条件より, \(n \geqq 2\) のとき, \(x_n\) は \(3\) の累乗なので, 奇数である.
ゆえに, (2) の結果から, \(3^{x _n}\) は \(4\) で割ると \(3\) 余る.
さらに, (1) の結果から, \(n \geqq 3\) のとき, \(x_n\) は \(10\) で割ると \(7\) 余る.
よって, 求める余りは \[ \underline{7} \]

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