曲線 \(y = x^2\) 上に \(2\) 点 A \(( -2 , 4 )\) , B \(( b , b^2 )\) をとる. ただし \(b \gt -2\) とする. このとき, 次の条件を満たす \(b\) の範囲を求めよ.
- 条件： \(y = x^2\) 上の点 T \(( t , t^2 ) \ ( -2 \lt t \lt b )\) で, \(\angle \text{ATB}\) が直角になるものが存在する.
【 解 答 】
A , B , T は互いに異なる点で,
\[\begin{align}
\text{AT の傾き} & = \dfrac{t^2 -4}{t+2} = t-2 \ , \\
\text{BT の傾き} & = \dfrac{t^2 -b^2}{t-b} = t+b \ .
\end{align}\]
AT と BT が直交するので
\[\begin{align}
( t-2 ) ( t+b ) & = -1 \\
t^2 +(b-2) t -2b +1 & = 0 \quad ... [1] \ .
\end{align}\]
したがって, \(t\) の方程式 [1] が, \(-2 \lt t \lt b\) に解をもつための \(b\) の条件を求めればよい.
[1] の左辺を \(f(t)\) とおくと, \(y = f(t)\) は, 下に凸で, 直線 \(t = 1 -\dfrac{b}{2}\) を軸にもつ放物線である.
また
\[\begin{align}
f(-2) & = 4 -2(b-2) -2b +1 \\
& = -4b +9 \ , \\
f(b) & = b^2 +(b-2)b -2b +1 \\
& = 2b^2 -4b +1 \ .
\end{align}\]
求める条件は, 下の 1* , 2* のいずれかのときである.
1* \(f(-2) f(b) \lt 0 \ ... [2]\) .
2* [1] の判別式 \(D\) について： \(D \geqq 0 \ ... [3]\) , 軸の位置について： \(-2 \lt 1 -\dfrac{b}{2} \lt b \ ... [4]\) , \(f(-2) \geqq 0 \ ... [5]\) , \(f(b) \geqq 0 \ ... [6]\) （ただし, \(f(-2) = f(b) = 0 \ ... [7] \) の場合を除く）.
1* について
[2] より \[\begin{align} ( -4b +9 ) ( 2b^2 -4b +1 ) & \lt 0 \\ \left( b -\dfrac{9}{4} \right) \left\{ b -\left( 1 -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \right\} \left\{ b -\left( 1 +\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \right\} & \gt 0 \\ \text{∴} \quad 1 -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \lt b \lt 1 +\dfrac{\sqrt{2}}{2} & , \ \dfrac{9}{4} \lt b \ . \end{align}\]2* について
[3] より \[\begin{align} D & = (b-2)^2 +4 (2b-1) \\ & = b (b+4) \geqq 0 \\ \text{∴} \quad b & \geqq 0 \quad ( \ \text{∵} \ b \gt -2 \ ) \ . \end{align}\] [4] より \[ \dfrac{1}{3} \lt b \lt 6 \ . \] [5] より \[ b \leqq 1 -\dfrac{\sqrt{2}}{2} , \ 1 +\dfrac{\sqrt{2}}{2} \leqq b \ . \] [6] より \[ b \leqq \dfrac{9}{4} \ . \] [7] をみたす \(b\) は存在しない.
以上から \[ 1 +\dfrac{\sqrt{2}}{2} \leqq b \leqq \dfrac{9}{4} \ . \]
1* , 2* より, 求める \(b\) の条件は \[ \underline{1 -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \lt b} \ . \]