\(2\) つの円 \(C : \ (x-1)^2 +y^2 = 1\) と \(D : \ (x+2)^2 +y^2 = 7^2\) を考える. また原点を O \(( 0 , 0 )\) とする. このとき, 次の問に答えよ.
(1) 円 \(C\) 上に, \(y\) 座標が正であるような点 P をとり, \(x\) 軸の正の部分と線分 OP のなす角を \(\theta\) とする. このとき, 点 P の座標と線分 OP の長さを \(\theta\) を用いて表せ.
(2) (1) でとった点 P を固定したまま, 点 Q が円 \(D\) 上を動くとき, \(\triangle \text{OPQ}\) の面積が最大になるときの Q の座標を \(\theta\) を用いて表せ.
(3) 点 P が円 \(C\) 上を動き, 点 Q が円 \(D\) 上を動くとき, \(\triangle \text{OPQ}\) の面積の最大値を求めよ.
ただし, (2) , (3) においては, \(3\) 点 O , P , Q が同一直線上にあるときは, \(\triangle \text{OPQ}\) の面積は \(0\) であるとする.
【 解 答 】
(1)
\(r = \text{OP}\) とおけば, P の座標は \(( r \cos \theta , r \sin \theta )\) とあらわせる.
また, P は第 \(1\) 象限にあるので, \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) ... [1] .
円 \(C\) の中心を A \(( 1 , 0 )\) とおけば, \(\triangle \text{AOP}\) は二等辺三角形なので
\[
\text{OP} = r = \underline{2 \cos \theta} \ .
\]
また
\[
\text{P} \ \underline{\left( \cos 2 \theta +1 , \sin 2 \theta \right)} \ .
\]
(2)
円 \(D\) の中心を B \(( -2 , 0 )\) とおく.
\(\triangle \text{OPQ}\) の面積が最大となるのは, Q が直線 OP から最も離れたとき, つまり Q が OP より B 側にあり, OP と傾きの等しい \(D\) の接線との接点となったときである.
このとき, OQ が \(x\) 軸正方向となす角は \(\theta +\dfrac{\pi}{2}\) である.
よって, 求める Q の座標は
\[
\left( -2 +7 \cos \left( \theta +\dfrac{\pi}{2} \right) , 7 \sin \left( \theta +\dfrac{\pi}{2} \right) \right)
\]
すなわち
\[
\underline{\left( -2 -7 \sin \theta , 7 \cos \theta \right)} \ .
\]
(3)
(2) のように, 点 P を固定して考える.
このとき, 直線 OP と BQ は直交し, その交点を E とおくと
\[
\text{BE} = 2 \sin \theta \ .
\]
したがって, \(\triangle \text{OPQ}\) の面積 \(S\) は
\[\begin{align}
S & = \dfrac{1}{2} \left( 2 \cos \theta \right) \left( 7 +2 \sin \theta \right) \\
& = \cos \theta \left( 7 +2 \sin \theta \right) \ .
\end{align}\]
つづいて, 点 P を動かして考えると, \(f( \theta ) = S\) とおいて, [1] の範囲における, \(f( \theta )\) の最大値を求めればよい.
\[\begin{align}
f'( \theta ) & = -\sin \theta \left( 7 +2 \sin \theta \right) +2 \cos^2 \theta \\
& = -4 \sin^2 \theta -7 \sin \theta +2 \\
& = -\left( 4 \sin \theta -1 \right) \left( \sin \theta +2 \right) \ .
\end{align}\]
[1] において, \(\sin \theta\) は単調増加なので, \(f( \theta )\) の増減は下表のとおり.
\[
\begin{array}{c|ccccc} \theta & ( 0 ) & \cdots & \alpha & \cdots & \left( \dfrac{\pi}{2} \right) \\ \hline f'( \theta ) & & + & 0 & - & \\ \hline f( \theta ) & ( 7 ) & \nearrow & \text{最大} & \searrow & ( 0 ) \end{array}
\]
ただし, \(\sin \alpha = \dfrac{1}{4} \ \left( 0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2} \right)\) とおいた.
\(\cos \alpha = \sqrt{1 -\left( \dfrac{1}{4} \right)^2} = \dfrac{\sqrt{15}}{4}\) なので, 求める最大値は
\[
f( \alpha ) = \dfrac{\sqrt{15}}{4} \left( 7 +2 \cdot \dfrac{1}{4} \right) = \underline{\dfrac{15 \sqrt{15}}{8}} \ .
\]