玉が \(2\) 個ずつ入った \(2\) つの袋 A , B があるとき, 袋 B から玉を \(1\) 個取り出して袋 A に入れ, 次に袋 A から玉を \(1\) 個取り出して袋 B に入れる, という操作を \(1\) 回の操作と数えることにする. A に赤玉が \(2\) 個, B に白玉が \(2\) 個入った状態から始め, この操作を \(n\) 回繰り返した後に袋 B に入っている赤玉の個数が \(k\) 個である確率を \(P _ n (k) \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) とする. このとき, 次の問に答えよ.
(1) \(k = 0, 1, 2\) に対する \(P _ 1 (k)\) を求めよ.
(2) \(k = 0, 1, 2\) に対する \(P _ n (k)\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
袋 B に赤玉が \(k\) 個入っている状態を \(S_k \ ( k = 0 , 1 , 2 )\) とおく.
\(S_0 , S_1 , S_2\) からの \(1\) 回の操作を行うと, それぞれ下図に示す確率で遷移する.
ゆえに, \(n \geqq 0\) に対して \[\begin{align} P_ {n+1} (0) & = \dfrac{1}{3} P_n (0) & +\dfrac{1}{6} P_n (1) & \quad & \quad ... [1] \ , \\ P_ {n+1} (1) & = \dfrac{2}{3} P_n (0) & +\dfrac{2}{3} P_n (1) & +\dfrac{2}{3} P_n (2) & \quad ... [2] \ , \\ P_ {n+1} (2) & = \quad & +\dfrac{1}{6} P_n (1) & +\dfrac{1}{3 } P_n (2) & \quad ... [3] \ . \end{align}\] [2] より, \(n\geq 1\) について \[ P_n (1) = \dfrac{2}{3} \quad ( \ \text{∵} \ P_n (0) +P_n (1) +P_n (2) = 1 \ ) \quad ... [4] \ . \] 初めの状態から, \(P_0 (0) = 1\) , \(P_0 (1) = P_0 (2) = 0\) なので, [1] ～ [3] より \[ P_1 (0) = \underline{\dfrac{1}{3}} , \ P_1 (1) = \underline{\dfrac{2}{3}} , \ P_1 (2) = \underline{0} \ . \]
(2)
[4] より \[ P_n (1) = \underline{\dfrac{2}{3}} \ . \] [1] , [4] より \[\begin{align} P_ {n+1} (0) & = \dfrac{1}{3} P_n (0) +\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{2}{3} \\ \text{∴} \quad P_ {n+1} (0) -\dfrac{1}{6} & = -\dfrac{1}{3} \left( P_n (0) -\dfrac{1}{6} \right) \ . \end{align}\] 数列 \(\left\{ P_n (0) -\dfrac{1}{6} \right\}\) は, 初項 \(P_1 (0) -\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{6}\) , 公比 \(\dfrac{1}{3}\) の等比数列なので \[\begin{align} P_n (0) -\dfrac{1}{6} & = \dfrac{1}{6} \left( \dfrac{1}{3} \right)^{n-1} \\ \text{∴} \quad P_n (0) & = \underline{\dfrac{1}{6} +\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{3} \right)^n} \ . \end{align}\] また \[\begin{align} P_n (2) & = 1 -P_n (0) -P_n (1) \\ & = \underline{\dfrac{1}{6} -\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{3} \right)^n} \ . \end{align}\]