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次の問に答えよ. ただし \(2\) 次方程式の重解は \(2\) つと数える.

1. (1)　次の条件 (＊) を満たす整数 \(a , b , c , d , e , f\) の組をすべて求めよ. \[ \text{(＊)} \ \left\{ \begin{array}{l} 2 \text{ 次方程式 } x^2 +ax +b = 0 \text{ の } 2 \text{ つの解が } c , d \text{ である. } \\ 2 \text{ 次方程式 } x^2 +cx +d = 0 \text{ の } 2 \text{ つの解が } e , f \text{ である. } \\ 2 \text{ 次方程式 } x^2 +ex +f = 0 \text{ の } 2 \text{ つの解が } a , b \text{ である. } \end{array} \right. \]

2. (2)　\(2\) つの数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) は, 次の条件 (＊＊) を満たすとする.

   1. (＊＊)　すべての正の整数 \(n\) について, \(a _ n , b _ n\) は整数であり, \(2\) 次方程式 \(x^2 +a _ n x +b _ n = 0\) の \(2\) つの解が \(a _ {n+1} , b _ {n+1}\) である.

　このとき

1. (i)　正の整数 \(m\) で, \(| b _ m | = | b _ {m+1} | = | b _ {m+2} | = \cdots\) となるものが存在することを示せ.

2. (ii)　条件 (＊＊) を満たす数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) の組をすべて求めよ.

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【 解 答 】

(1)

(＊) の各式について, 解と係数の関係より \[\begin{align} a & = -c-d \quad ... [1] \ , \ b = cd \quad ... [2] \ , \\ c & = -e-f \quad ... [3] \ , \ d = ef \quad ... [4] \ , \\ e & = -a-b \quad ... [5] \ , \ f = ab \quad ... [6] \ . \end{align}\] [5] , [6] を [3] , [4] に代入して \[\begin{align} c & = a +b -ab \quad ... [7] \ , \\ d & = -ab ( a+b ) \quad ... [8] \ . \end{align}\] これをさらに [1] , [2] に代入して \[\begin{align} a & = - (a+b ) +ab +ab ( a+b ) \quad ... [9] \ , \\ b & = - ab ( a+b ) ( a+b -ab ) \quad ... [10] \ . \end{align}\]

1. 1*　\(b = 0\) のとき
   [10] は成立して, [9] に代入すると \[\begin{align} a & = -a \\ \text{∴} \quad a & = 0 \ . \end{align}\] このとき, [5] ～ [8] より \[ c = d = e = f = 0 \ . \]

2. 2*　\(b \neq 0\) のとき
   [8] の両辺を \(b\) で割って \[ -a ( a+b ) ( a +b -ab ) = 1 \ . \] 左辺は \(3\) つの整数の積であり, それぞれ \(1 , -1\) のいずれかである.

   1. (あ)　\(a = 1\) のとき
      \[\begin{align} ( b+1 ) \cdot 1 & = -1 \\ \text{∴} \quad b & = -2 \ . \end{align}\] このとき, [5] ～ [8] より \[ c = e = 1 , \quad d = f = -2 \ . \]
   2. (い)　\(a = -1\) のとき \[\begin{align} ( b-1 ) ( 2b -1 ) & = 1 \\ b ( 2b -3 ) & = 0 \\ \text{∴} \quad b & = \dfrac{3}{2} \quad ( \ \text{∵} \quad b \neq 0 \ ) \ . \end{align}\] これは整数ではないので, 不適.

以上より, 求める組は \[ ( a , b , c , d , e , f ) = \underline{( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) , ( 1 , -2 , 1 , -2 , 1 , -2 )} \ . \]

(2)

(i)

(＊＊) の \(2\) 次方程式について, 解と係数の関係より \[ a_n = -a _ {n+1} -b _ {n+1} \quad ... [11] \ , \quad b_n = a _ {n+1} b _ {n+1} \quad ... [12] \ . \] [12] より, 「 \(b_n \neq 0\) ならば \(a _ {n+1} \neq 0\) かつ \(b _ {n+1} \neq 0\)」... [13] なので, 次のように場合分けして考える.

1. 1*　\(b_n = 0 \ ( n \geqq 1 )\) のとき
   \(| b_n | = 0\) となるので, 条件を満たす \(m (=1)\) が存在する.

2. 2*　ある自然数 \(N\) について, \(b_n \neq 0 \ ( n \geqq N )\) となるとき
   [12] より, \(| b_n | = | a _ {n+1} | | b _ {n+1} |\) で, [13] より, \(| b_n | , | a _ {n+1} | , | b _ {n+1} |\) はすべて正の整数なので \[ | b_n | \geqq | b _ {n+1} | \ . \] したがって, 数列 \(\{ b_n \}\) は, \(n \geqq N\) において単調減少する.
   条件を満たす \(m\) が存在しないと仮定すると,
   \(| b_n |\) は整数値をとるので, どこまでも小さくなっていくが, これは \(| b_n | \geqq 1\) であることに矛盾する.
   ゆえに, 条件を満たす \(m\) が存在する.

以上より, 題意は示された.

(ii)

(i) と同じ場合分けをして考える.

1. 1* のとき
   [11] より, \(a _ {n+1} = -a_n\) なので,
   数列 \(\{ a_n \}\) は, 初項 \(a_1 = k \ ( k \ \text{は整数} )\) , 公比 \(-1\) の等比数列であり \[ a_n = (-1)^{n-1} k \ . \]

2. 2* のとき
   \(| b_m | = \ell\) とおく.
   \(n \geqq m\) において, \(| a_n | = | a_ {n+1} |\) なので, \( n \geqq m+1\) において \[ | a_n | = 1 \quad ... [14] \ . \] \(2\) 次方程式の判別式 \(D\) について \[ D = {a_n}^2 -4 b_n \geqq 0 \ . \] なので, [14] より, \(n \geqq m+1\) において \[ b_n \leqq \dfrac{1}{4} \ . \] つまり \[ b_n = -\ell \quad ... [15] \ . \] [12] [14] より, \(n \geqq m+2\) において \[ a_n = 1 \quad ... [16] \ . \] [11] [15] [16] より, \(n \geqq m+3\) において \[\begin{align} 1 & = -1 +\ell \\ \text{∴} \quad \ell & = 2 \\ \text{∴} \quad ( a_n , b_n ) & = ( 1 , -2 ) \ . \end{align}\] \(( a _ {n+1} , b _ {n+1} ) = ( 1 , -2 )\) であれば, [11] [12] より \[ ( a_n , b_n ) = ( 1 , -2 ) \ . \] なので, これを繰返し用いれば, 結局 \(n \geqq 1\) に対して \[ ( a_n , b_n ) = ( 1 , -2 ) \ . \]

以上より, 求める数列の組は \[ ( a_n , b_n ) = \underline{( 1 , -2 ) , \left( (-1)^{n-1} k , 0 \right) \quad ( k \text{は整数} \ )} \ . \]