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\(a\) を正の実数とする. 放物線 \(y = x^2\) を \(C_1\) , 放物線 \(y = -x^2 +4ax -4 a^2 +4 a^4\) を \(C_2\) とする. 以下の問に答えよ.

1. (1)　点 \(( t , t^2 )\) における \(C_1\) の接線の方程式を求めよ.

2. (2)　\(C_1\) と \(C_2\) が異なる \(2\) つの共通接線 \(\ell , \ell '\) を持つような \(a\) の範囲を求めよ. ただし, \(C_1\) と \(C_2\) の共通接線とは, \(C_1\) と \(C_2\) の両方に接する直線のことである.

以下, \(a\) は (2) で求めた範囲にあるとし, \(\ell , \ell '\) を \(C_1\) と \(C_2\) の異なる \(2\) つの共通接線とする.

3. (3)　\(\ell , \ell '\) の交点の座標を求めよ.

4. (4)　\(C_1\) と \(\ell , \ell '\) で囲まれた領域を \(D_1\) とし, 不等式 \(x \leqq a\) の表す領域を \(D_2\) とする. \(D_1\) と \(D_2\) の共通部分の面積 \(S(a)\) を求めよ.

5. (5)　\(S(a)\) を (4) の通りとする. \(a\) が (2) で求めた範囲を動くとき, \(S(a)\) の最大値を求めよ.

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【 解 答 】

(1)

\(C_1\) の式より, \(y' = 2x\) なので, 接線の式は \[\begin{align} y & = 2t (x-t) + t^2 \\ & = 2tx -t^2 \end{align}\] すなわち \[ \underline{y = 2tx -t^2} \]

(2)

(1) で求めた式と \(C_2\) の式から \(y\) を消去して \[\begin{gather} 2tx -t^2 = -x^2 +4ax -4a^2 +4a^4 \\ \text{∴} \quad x^2 +2( t -2a ) x -t^2 -4a^2 +4a^4 = 0 \end{gather}\] これが重解をもつので, 判別式 \(D_1\) について \[\begin{align} \dfrac{D_1}{4} & = ( t -2a )^2 +t^2 +4a^2 -4a^4 \\ & = 2t^2 -4at +4a^4 = 0\\ \text{∴} \quad & t^2 -2a t +2a^4 = 0 \quad ... [1] \end{align}\] これが異なる \(2\) 実数解をもつので, 判別式 \(D_2\) について \[\begin{align} \dfrac{D_2}{4} = a^2 -2a^4 & \gt 0 \\ 1 -2a^2 & \gt 0 \quad ( \ \text{∵} \ a^2 \gt 0 \ ) \\ \text{∴} \quad & \underline{0 \lt a \lt \dfrac{1}{\sqrt{2}}} \end{align}\]

(3)

[1] の \(2\) 解を \(p , q \ (p\lt q )\) とおくと \[\begin{align} \ell \ : \ y & = 2px -p^2 \\ \ell' \ : \ y & = 2qx -q^2 \end{align}\] これをとくと \[\begin{align} 2px -p^2 & = 2qx -q^2 \\ 2( p-q ) x & = p^2 -q^2 \\ \text{∴} \quad x & = \dfrac{p+q}{2} \quad ( \ \text{∵} \ p \neq q \ ) \end{align}\] ゆえに \[ y = 2p \cdot \dfrac{p+q}{2} -p^2 = pq \] 解と係数の関係から, [1] より \[ p+q = 2a \ , \ pq = 2a^4 \quad ... [2] \] よって, 交点の座標は \[ \underline{( a , 2a^4 )} \]

(4)

[2] より \[\begin{align} (q-p)^2 & = (p+q)^2 -4pq \\ & = 4a^2 -8a^2 = 4 a^2 ( 1 -2a^2 ) \end{align}\] よって \[\begin{align} S(a) & = \displaystyle\int _ {p}^{\frac{p+q}{2}} ( x^2 -2p x +p^2 ) \, dx \\ & = \left[ \dfrac{(x-p)^3}{3} \right] _ {p}^{\frac{p+q}{2}} = \dfrac{(q-p)^3}{24} \\ & = \dfrac{8 a^3 ( 1 -2a^2 )^{\frac{3}{2}}}{24} \\ & = \underline{\dfrac{1}{3} a^3 ( 1 -2a^2 )^{\frac{3}{2}}} \\ \end{align}\]

(5)

\(u = a^2\) とおくと, \(0 \lt u \lt \dfrac{1}{2}\) .
\(f(u) = u ( 1 -2u )\) とおけば \[ f(u) = -2 \left( u -\dfrac{1}{4} \right)^2 +\dfrac{1}{8} \] よって, \(u = \dfrac{1}{4}\) すなわち \(a = \dfrac{1}{2}\) のとき, \(S(a)\) は最大となり, その値は \[ \dfrac{1}{3} \left\{ f \left( \dfrac{1}{2} \right) \right\}^{\frac{3}{2}} = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{8} \right)^{\frac{3}{2}} = \underline{\dfrac{\sqrt{2}}{96}} \]