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【 解 答 】

(1)

\(C_1\) の式より, \(y' = 2x\) なので, 接線の式は \[\begin{align} y & = 2t (x-t) + t^2 \\ & = 2tx -t^2 \end{align}\] すなわち \[ \underline{y = 2tx -t^2} \]

(2)

(1) で求めた式と \(C_2\) の式から \(y\) を消去して \[\begin{gather} 2tx -t^2 = -x^2 +4ax -4a^2 +4a^4 \\ \text{∴} \quad x^2 +2( t -2a ) x -t^2 -4a^2 +4a^4 = 0 \end{gather}\] これが重解をもつので, 判別式 \(D_1\) について \[\begin{align} \dfrac{D_1}{4} & = ( t -2a )^2 +t^2 +4a^2 -4a^4 \\ & = 2t^2 -4at +4a^4 = 0\\ \text{∴} \quad & t^2 -2a t +2a^4 = 0 \quad ... [1] \end{align}\] これが異なる \(2\) 実数解をもつので, 判別式 \(D_2\) について \[\begin{align} \dfrac{D_2}{4} = a^2 -2a^4 & \gt 0 \\ 1 -2a^2 & \gt 0 \quad ( \ \text{∵} \ a^2 \gt 0 \ ) \\ \text{∴} \quad & \underline{0 \lt a \lt \dfrac{1}{\sqrt{2}}} \end{align}\]

(3)

[1] の \(2\) 解を \(p , q \ (p\lt q )\) とおくと \[\begin{align} \ell \ : \ y & = 2px -p^2 \\ \ell' \ : \ y & = 2qx -q^2 \end{align}\] これをとくと \[\begin{align} 2px -p^2 & = 2qx -q^2 \\ 2( p-q ) x & = p^2 -q^2 \\ \text{∴} \quad x & = \dfrac{p+q}{2} \quad ( \ \text{∵} \ p \neq q \ ) \end{align}\] ゆえに \[ y = 2p \cdot \dfrac{p+q}{2} -p^2 = pq \] 解と係数の関係から, [1] より \[ p+q = 2a \ , \ pq = 2a^4 \quad ... [2] \] よって, 交点の座標は \[ \underline{( a , 2a^4 )} \]

(4)

[2] より \[\begin{align} (q-p)^2 & = (p+q)^2 -4pq \\ & = 4a^2 -8a^2 = 4 a^2 ( 1 -2a^2 ) \end{align}\] よって \[\begin{align} S(a) & = \displaystyle\int _ {p}^{\frac{p+q}{2}} ( x^2 -2p x +p^2 ) \, dx \\ & = \left[ \dfrac{(x-p)^3}{3} \right] _ {p}^{\frac{p+q}{2}} = \dfrac{(q-p)^3}{24} \\ & = \dfrac{8 a^3 ( 1 -2a^2 )^{\frac{3}{2}}}{24} \\ & = \underline{\dfrac{1}{3} a^3 ( 1 -2a^2 )^{\frac{3}{2}}} \\ \end{align}\]

(5)

\(u = a^2\) とおくと, \(0 \lt u \lt \dfrac{1}{2}\) .
\(f(u) = u ( 1 -2u )\) とおけば \[ f(u) = -2 \left( u -\dfrac{1}{4} \right)^2 +\dfrac{1}{8} \] よって, \(u = \dfrac{1}{4}\) すなわち \(a = \dfrac{1}{2}\) のとき, \(S(a)\) は最大となり, その値は \[ \dfrac{1}{3} \left\{ f \left( \dfrac{1}{2} \right) \right\}^{\frac{3}{2}} = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{8} \right)^{\frac{3}{2}} = \underline{\dfrac{\sqrt{2}}{96}} \]

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【 解 答 】

(1)

\[ \alpha \beta \gamma = \dfrac{\log 3}{\log 2} \cdot \dfrac{\log 5}{\log 3} \cdot \dfrac{\log 2}{\log 5} = 1 \]

(2)

\[\begin{align} \alpha -\delta & = \dfrac{\log 3}{\log 2} -\dfrac{3}{2} = \dfrac{\log 9 -\log 8}{2 \log 2} \gt 0 \ , \\ \beta -\delta & = \dfrac{\log 5}{\log 3} -\dfrac{3}{2} = \dfrac{\log 25 -\log 27}{2 \log 2} \lt 0 \ , \\ \beta & = \dfrac{\log 5}{\log 3} \gt 1 \ , \quad \gamma = \dfrac{\log 2}{\log 5} \lt 1 \end{align}\] 以上より \[ \underline{\gamma \lt \beta \lt \delta \lt \alpha} \]

(3)

(1) の結果を用いれば \[\begin{align} f(x) & = x^3 +( \alpha +\beta +\gamma ) x^2 +( \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ) x +\alpha \beta \gamma \\ & = ( x +\alpha ) ( x +\beta ) ( x +\gamma ) \end{align}\] また \[ \gamma -\dfrac{1}{2}= \dfrac{\log 4 -\log 5}{2\log 5} \lt 0 \] (1) の結果とあわせて \[ 0 \lt \gamma \lt \dfrac{1}{2} \ , \ 1 \lt \beta \lt \dfrac{3}{2} \lt \alpha \] ゆえに \[ -\alpha \lt -\dfrac{3}{2} \lt -\beta \lt -1 \ , \ -\dfrac{1}{2} \lt -\gamma \lt 0 \] したがって, \(y = f(x)\) のグラフは下図のようになる.

よって \[ \underline{f \left( -\dfrac{1}{2} \right) \lt 0 \ , \ f( -1 ) \lt 0 \ , \ f \left( -\dfrac{3}{2} \right) \gt 0} \]

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【 解 答 】

(1)

\(2\) が丸で囲まれるのは, 以下のいずれかのとき.

• 操作 (a) で \(2\) が丸で囲まれる.

• \(1\) に石がある状態から, 操作 (b) で \(2\) が選ばれる.

\(p_1 = \dfrac{1}{12}\) なので, 求める確率は \[ p_2 = \dfrac{1}{12} +\dfrac{1}{7} p_1 = \underline{\dfrac{2}{21}} \]

(2)

(1) と同様に考えて, \(k\) が丸で囲まれるのは, 以下のいずれかのとき.

• 操作 (a) で \(k\) が丸で囲まれる.

• \(k\) より左または上の数字に石がある状態から, 操作 (b) で \(k\) が選ばれる.

これを用いると \[\begin{align} p_3 & = \underline{\dfrac{1}{12} +\dfrac{1}{7} p_1}+\dfrac{1}{5} p_2 \\ & = \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{2}{21} = \dfrac{4}{35} \ , \\ \end{align}\] ここで, 下線部が \(1\) つ左または上の数字が丸で囲まれる確率に等しいことを用いれば \[\begin{align} p_4 & = p_3 +\dfrac{1}{3} p_3 = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{4}{35} = \dfrac{16}{105} \ , \\ p_5 & = p_4 +\dfrac{1}{2} p_4 = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{16}{105} = \underline{\dfrac{8}{35}} \end{align}\] 数字の配置より \[ p_6 = p_2 = \dfrac{2}{21} \ , \ p _ {10} = p_3 = \dfrac{4}{35} \] これらを用いて \[\begin{align} p_7 & = \dfrac{1}{12} +\dfrac{1}{5} p_2 +\dfrac{1}{5} p_6 \\ & = \dfrac{1}{12} +\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{21} \\ & = \dfrac{35 +16}{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 7} = \dfrac{17}{140} \ , \\ p _ {11} & = \dfrac{1}{12} +\dfrac{1}{3} p_7 +\dfrac{1}{2} p _ {10} \\ & = \dfrac{1}{12} +\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{17}{140} +\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{35} \\ & = \dfrac{35 +17 +24}{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 7} = \underline{\dfrac{1}{5}} \end{align}\]

(3)

\[ p _ {12} = p _ {10} +\dfrac{1}{2} p _ {10} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{35} = \dfrac{6}{35} \] \(5 , 9 , 11 , 12\) のいずれかが丸で囲まれてゲームが終了するので \[\begin{align} p_9 & = 1 -\left( p_5 +p _ {11} +p _ {12} \right) \\ & = 1 -\left( \dfrac{8}{35} +\dfrac{1}{5} +\dfrac{6}{35} \right) = \dfrac{2}{5} \end{align}\] よって, 求める最大値は \[ p_9 = \underline{\dfrac{2}{5}} \]

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【 解 答 】

(1)

条件より \[\begin{align} y & = 3 \left[ x +\dfrac{1}{2} \right] -2x \\ & = \left\{ \begin{array}{ll} -2x & \left( \ 0 \leqq a \lt \dfrac{1}{2} \text{のとき} \ \right) \\ -2x +3 & \left( \ \dfrac{1}{2} \leqq a \lt 1 \text{のとき} \ \right) \end{array} \right. \end{align}\]

よって, 求める軌跡は下図.

(2)

一般に \([ a_n ] \leqq a_n \lt [ a_n ] +1\) なので, 条件とあわせて \[ [ a_n ] +\dfrac{1}{2} \leqq a_n \lt [ a_n ] +1 \] これを用いて \[\begin{align} a _ {n+1} & = 3 \left[ a_n +\dfrac{1}{2} \right] -2 a_n \\ & \geqq 3 \left[ [ a_n ] +1 \right] -2 a_n \\ & = 3 \left( [ a_n ] +1 \right) -2 a_n \\ & \gt 3 a_n -2 a_n = a_n \end{align}\] すなわち \[ a_n \lt a _ {n+1} \]

(3)

(2) の結果の対偶をとれば \[ a _ n \geqq a _ {n+1} \ \Rightarrow \ a_n -[ a_n ] \lt \dfrac{1}{2} \] ゆえに, 条件より \[ [ a_n ] \leqq a_n \lt [ a_n ] +\dfrac{1}{2} \] このうち, \(a_ n = [ a_n ]\) のとき, \(a_n\) は整数で \(\left[ a_n +\dfrac{1}{2} \right] = a_n\) となり \[ a _ {n+1} = 3 a_n -2 a_n = a_n \] これは, 条件をみたさず不適.
したがって \[\begin{align} [ a_n ] & \lt a_n \lt [ a_n ] +\dfrac{1}{2} \quad ... [1] \\ \text{∴} \quad [ a_n ] +\dfrac{1}{2} & \lt a_n +\dfrac{1}{2} \lt [ a_n ] +1 \end{align}\] なので \[ \left[ a_n +\dfrac{1}{2} \right] = [ a_n ] \] したがって \[ a _ {n+1} = \underline{3 [ a_n ] -2 a_n} \quad ... [2] \] [1] を用いると \[\begin{align} a _ {n+1} & \gt 3 [ a_n ] -2 \left( [ a_n ] +\dfrac{1}{2} \right) = [ a_n ] -1 \ , \\ a _ {n+1} & \lt 3 [ a_n ] -2 [ a_n ] = [ a_n ] \end{align}\] すなわち \[ [ a_n ] -1 \lt a _ {n+1} \lt [ a_n ] \] よって \[ [ a _ {n+1} ] = \underline{[ a_n ] -1} \quad ... [3] \]

(4)

\(n = 1 , 2 , \cdots , k-1\) について, \(a_n \lt a _ {n+1}\) なので, [3] の結果より \[ [ a _ {n+1} ] = [ a_n ] -1 \quad ( n = 1 , 2 , \cdots , k-1 ) \] 数列 \(\{ [ a_n ] \}\) は, 初項 \([ a_1 ] = [ a ] = 0\) , 公差 \(-1\) の等差数列なので \[ [ a_n ] = -n+1 \] [2] に代入して \[\begin{align} a _ {n+1} & = -3n +3 -2 a_n \\ \text{∴} \quad a _ {n+1} +(n+1) -\dfrac{4}{3} & = -2 \left( a_n +n -\dfrac{4}{3} \right) \end{align}\] 数列 \(\left\{ a_n +n -\dfrac{4}{3} \right\}\) は, 初項 \(a_1 +1 -\dfrac{4}{3} = a -\dfrac{1}{3}\) , 公比 \(-2\) の等比数列なので \[\begin{align} a_n +n -\dfrac{4}{3} & = \left( a -\dfrac{1}{3} \right) (-2)^{n-1} \\ \text{∴} \quad a_n & = \left( a -\dfrac{1}{3} \right) (-2)^{n-1} -n +\dfrac{4}{3} \end{align}\] よって \[ a_k = \underline{\left( a -\dfrac{1}{3} \right) (-2)^{k-1} -k +\dfrac{4}{3}} \]

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