\(4\) つの実数を \(\alpha = \log_2 3\) , \(\beta = \log _3 5\) , \(\gamma = \log _5 2\) , \(\delta = \dfrac{3}{2}\) とおく. 以下の問に答えよ.
(1) \(\alpha \beta \gamma = 1\) を示せ.
(2) \(\alpha , \beta , \gamma , \delta\) を小さい順に並べよ.
(3) \(p = \alpha +\beta +\gamma\) , \(q = \dfrac{1}{\alpha} +\dfrac{1}{\beta} +\dfrac{1}{\gamma}\) とし, \(f(x) = x^3 +p x^2 +q x +1\) とする. このとき \(f \left( -\dfrac{1}{2} \right)\) , \(f( -1 )\) および \(f \left( -\dfrac{3}{2} \right)\) の正負を判定せよ.
【 解 答 】
(1)
\[ \alpha \beta \gamma = \dfrac{\log 3}{\log 2} \cdot \dfrac{\log 5}{\log 3} \cdot \dfrac{\log 2}{\log 5} = 1 \]
(2)
\[\begin{align} \alpha -\delta & = \dfrac{\log 3}{\log 2} -\dfrac{3}{2} = \dfrac{\log 9 -\log 8}{2 \log 2} \gt 0 \ , \\ \beta -\delta & = \dfrac{\log 5}{\log 3} -\dfrac{3}{2} = \dfrac{\log 25 -\log 27}{2 \log 2} \lt 0 \ , \\ \beta & = \dfrac{\log 5}{\log 3} \gt 1 \ , \quad \gamma = \dfrac{\log 2}{\log 5} \lt 1 \end{align}\] 以上より \[ \underline{\gamma \lt \beta \lt \delta \lt \alpha} \]
(3)
(1) の結果を用いれば \[\begin{align} f(x) & = x^3 +( \alpha +\beta +\gamma ) x^2 +( \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ) x +\alpha \beta \gamma \\ & = ( x +\alpha ) ( x +\beta ) ( x +\gamma ) \end{align}\] また \[ \gamma -\dfrac{1}{2}= \dfrac{\log 4 -\log 5}{2\log 5} \lt 0 \] (1) の結果とあわせて \[ 0 \lt \gamma \lt \dfrac{1}{2} \ , \ 1 \lt \beta \lt \dfrac{3}{2} \lt \alpha \] ゆえに \[ -\alpha \lt -\dfrac{3}{2} \lt -\beta \lt -1 \ , \ -\dfrac{1}{2} \lt -\gamma \lt 0 \] したがって, \(y = f(x)\) のグラフは下図のようになる.
よって \[ \underline{f \left( -\dfrac{1}{2} \right) \lt 0 \ , \ f( -1 ) \lt 0 \ , \ f \left( -\dfrac{3}{2} \right) \gt 0} \]