\(0 \leqq a \lt 1\) を満たす実数 \(a\) に対し, 数列 \(\{ a_n \}\) を \[ a_1 = a , \qquad a _ {n+1} = 3 \left[ a_n +\dfrac{1}{2} \right] -2 a_n \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] という漸化式で定める. ただし \([x]\) は \(x\) 以下の最大の整数を表す. 以下の問に答えよ.
(1) \(a\) が \(0 \leqq a \lt 1\) の範囲を動くとき, 点 \(( x , y ) = ( a_1 , a_2 )\) の軌跡を \(xy\) 平面上に図示せよ.
(2) \(a_n -[ a_n ] \geqq \dfrac{1}{2}\) ならば, \(a_n \lt a _ {n+1}\) であることを示せ.
(3) \(a_n \gt a _ {n+1}\) ならば, \(a _ {n+1} = 3 [ a_n ] -2 a_n\) かつ \([ a _ {n+1} ] = [ a_n ] -1\) であることを示せ.
(4) ある \(2\) 以上の自然数 \(k\) に対して, \(a_1 \gt a_2 \gt \cdots \gt a_k\) が成り立つとする. このとき \(a_k\) を \(a\) の式で表せ.
【 解 答 】
(1)
条件より \[\begin{align} y & = 3 \left[ x +\dfrac{1}{2} \right] -2x \\ & = \left\{ \begin{array}{ll} -2x & \left( \ 0 \leqq a \lt \dfrac{1}{2} \text{のとき} \ \right) \\ -2x +3 & \left( \ \dfrac{1}{2} \leqq a \lt 1 \text{のとき} \ \right) \end{array} \right. \end{align}\]
よって, 求める軌跡は下図.
(2)
一般に \([ a_n ] \leqq a_n \lt [ a_n ] +1\) なので, 条件とあわせて \[ [ a_n ] +\dfrac{1}{2} \leqq a_n \lt [ a_n ] +1 \] これを用いて \[\begin{align} a _ {n+1} & = 3 \left[ a_n +\dfrac{1}{2} \right] -2 a_n \\ & \geqq 3 \left[ [ a_n ] +1 \right] -2 a_n \\ & = 3 \left( [ a_n ] +1 \right) -2 a_n \\ & \gt 3 a_n -2 a_n = a_n \end{align}\] すなわち \[ a_n \lt a _ {n+1} \]
(3)
(2) の結果の対偶をとれば
\[
a _ n \geqq a _ {n+1} \ \Rightarrow \ a_n -[ a_n ] \lt \dfrac{1}{2}
\]
ゆえに, 条件より
\[
[ a_n ] \leqq a_n \lt [ a_n ] +\dfrac{1}{2}
\]
このうち, \(a_ n = [ a_n ]\) のとき, \(a_n\) は整数で \(\left[ a_n +\dfrac{1}{2} \right] = a_n\) となり
\[
a _ {n+1} = 3 a_n -2 a_n = a_n
\]
これは, 条件をみたさず不適.
したがって
\[\begin{align}
[ a_n ] & \lt a_n \lt [ a_n ] +\dfrac{1}{2} \quad ... [1] \\
\text{∴} \quad [ a_n ] +\dfrac{1}{2} & \lt a_n +\dfrac{1}{2} \lt [ a_n ] +1
\end{align}\]
なので
\[
\left[ a_n +\dfrac{1}{2} \right] = [ a_n ]
\]
したがって
\[
a _ {n+1} = \underline{3 [ a_n ] -2 a_n} \quad ... [2]
\]
[1] を用いると
\[\begin{align}
a _ {n+1} & \gt 3 [ a_n ] -2 \left( [ a_n ] +\dfrac{1}{2} \right) = [ a_n ] -1 \ , \\
a _ {n+1} & \lt 3 [ a_n ] -2 [ a_n ] = [ a_n ]
\end{align}\]
すなわち
\[
[ a_n ] -1 \lt a _ {n+1} \lt [ a_n ]
\]
よって
\[
[ a _ {n+1} ] = \underline{[ a_n ] -1} \quad ... [3]
\]
(4)
\(n = 1 , 2 , \cdots , k-1\) について, \(a_n \lt a _ {n+1}\) なので, [3] の結果より \[ [ a _ {n+1} ] = [ a_n ] -1 \quad ( n = 1 , 2 , \cdots , k-1 ) \] 数列 \(\{ [ a_n ] \}\) は, 初項 \([ a_1 ] = [ a ] = 0\) , 公差 \(-1\) の等差数列なので \[ [ a_n ] = -n+1 \] [2] に代入して \[\begin{align} a _ {n+1} & = -3n +3 -2 a_n \\ \text{∴} \quad a _ {n+1} +(n+1) -\dfrac{4}{3} & = -2 \left( a_n +n -\dfrac{4}{3} \right) \end{align}\] 数列 \(\left\{ a_n +n -\dfrac{4}{3} \right\}\) は, 初項 \(a_1 +1 -\dfrac{4}{3} = a -\dfrac{1}{3}\) , 公比 \(-2\) の等比数列なので \[\begin{align} a_n +n -\dfrac{4}{3} & = \left( a -\dfrac{1}{3} \right) (-2)^{n-1} \\ \text{∴} \quad a_n & = \left( a -\dfrac{1}{3} \right) (-2)^{n-1} -n +\dfrac{4}{3} \end{align}\] よって \[ a_k = \underline{\left( a -\dfrac{1}{3} \right) (-2)^{k-1} -k +\dfrac{4}{3}} \]