次の問いに答えよ.
(1) \(c\) を正の定数とする. 正の実数 \(x , y\) が \(x+y = c\) をみたすとき, \[ \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) \] の最小値を \(c\) を用いて表せ.
(2) 正の実数 \(x , y , z\) が \(x+y+z = 1\) をみたすとき, \[ \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) \left( 1 -\dfrac{4}{3z} \right) \] の最大値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(F_c = \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right)\) とおく.
相加相乗平均の関係を用いれば
\[\begin{align}
F_c & = 1 +\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y} +\dfrac{1}{xy} \\
& = 1 +\dfrac{c+1}{xy} \quad ( \ \text{∵} \ x+y = c \ ) \\
& \geqq 1 +(c+1) \left( \dfrac{2}{x+y} \right)^2 \\
& = 1 +\dfrac{4 (c+1)}{c^2} \\
& = \left( \dfrac{c+2}{c} \right)^2
\end{align}\]
等号成立は \(x = y = \dfrac{c}{2}\) のとき.
よって, 求める最小値は
\[
\underline{\left( \dfrac{c+2}{c} \right)^2}
\]
(2)
\(G = \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) \left( 1 -\dfrac{4}{3z} \right)\) とおく.
まず \(z\) を定数とみて考える.
条件より \(x+y = 1-z \gt 0\) なので
\[
G = F _{1-z} \underline{\left( 1 -\dfrac{4}{3z} \right)} _{[1]}
\]
\(0 \lt z \lt 1\) なので
\[\begin{align}
\dfrac{4}{3z} & \gt \dfrac{4}{3} \\
\text{∴} \quad [1] & \lt 0
\end{align}\]
したがって, \(G\) は負で, \(F _{1-z}\) が最小のとき, \(G\) は最大値 \(f(z)\) をとる.
(1) の結果より
\[
F _{1-z} \geqq \left( \dfrac{1+z}{1-z} \right)^2 = \left( 1 +\dfrac{2}{1-z} \right)^2
\]
なので
\[
f(z) = \left( 1 -\dfrac{4}{3z} \right) \left( 1 +\dfrac{2}{1-z} \right)^2
\]
ここで, \(z\) を変数とみて
\[\begin{align}
f'(z) & = \dfrac{4}{3 z^2} \left( 1 +\dfrac{2}{1-z} \right)^2 \\
& \qquad +\left( 1 -\dfrac{4}{3z} \right) \cdot 2 \left( 1 +\dfrac{2}{1-z} \right) \dfrac{2}{(1-z)^2} \\
& = \dfrac{4 (3-z)^2 +4z (3-z) (3z-4)}{3 z^2 (1-z)^3} \\
& = \dfrac{4 (3-z) ( 4z^2 -8z +3 )}{3 z^2 (1-z)^3} \\
& = \dfrac{4 (3-z) (2z-3) (2z-1)}{3 z^2 (1-z)^3}
\end{align}\]
\(0 \lt z \lt 1\) において \(f'(z) = 0\) をとくと
\[
z = \dfrac{1}{2}
\]
この範囲において \(3-z \gt 0\) , \(2z-3 \lt 0\) に注意すれば, \(f(z)\) の増減は以下のようになる.
\[
\begin{array}{c|ccccc} z & (0) & \cdots & \dfrac{1}{2} & \cdots & (1) \\ \hline f'(z) & & + & 0 & - & \\ \hline f(z) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array}
\]
よって, 求める \(G\) の最大値は
\[
f \left( \dfrac{1}{2} \right) = -\dfrac{5}{3} \cdot 5^2 = \underline{-\dfrac{125}{3}}
\]