座標平面において, 原点 O を中心とする半径 \(r\) の円と放物線 \(y = \sqrt{2} (x-1)^2\) は, ただ \(1\) つの共有点 \(( a , b )\) をもつとする.
(1) \(a , b , r\) の値をそれぞれ求めよ.
(2) 連立不等式 \[ a \leqq x \leqq 1 , \quad 0 \leqq y \leqq \sqrt{2} (x-1)^2 , \quad x^2 +y^2 \geqq r^2 \] の表す領域を, \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる回転体の体積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
与えられた放物線を \(C\) , 円を \(D\) とする.
\(D\) の中心である原点 O は, \(C\) の下方にあるので, 条件をみたすのは, \(C\) と
\(D\) が接するときである.
\(y = \sqrt{2} (x-1)^2\) より
\[
y' = 2 \sqrt{2} (x-1)
\]
なので, 点 A \((a,b)\) における接線 \(\ell _\text{A}\) の傾きは
\[
2 \sqrt{2} (a-1) \quad ... [1]
\]
また, OA の傾きは
\[
\dfrac{b}{a} = \dfrac{\sqrt{2} (a-1)^2}{a} \quad ... [2]
\]
\(\ell _\text{A} \perp \text{OA}\) なので, [1] [2] より
\[\begin{align}
2 \sqrt{2} (a-1) \cdot \dfrac{\sqrt{2} (a-1)^2}{a} & = -1 \\
4 (a-1)^3 +a & = 0 \\
4a^3 -12a^2 +13a -4 & = 0 \\
(2a-1) \underline{( 2a^2 -5a +4 )} _{[3]} & = 0 \\
\end{align}\]
ここで, \([3] = 2 \left( a -\dfrac{5}{4} \right)^2 +\dfrac{7}{8} \gt 0\) だから
\[
a = \underline{\dfrac{1}{2}}
\]
また
\[
b = \sqrt{2} \left( \dfrac{1}{2} -1 \right)^2 = \underline{\dfrac{\sqrt{2}}{4}}
\]
さらに
\[\begin{align}
r & = \sqrt{a^2 +b^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{8}} \\
& = \sqrt{\dfrac{3}{8}} = \underline{\dfrac{\sqrt{6}}{4}}
\end{align}\]
(2)
\(x\) 軸, 直線 \(x = a\) , \(C\) に囲まれた領域を \(R_1\) , \(x\) 軸, 直線 \(x = a\) , \(D\) に囲まれた領域を \(R_2\) とする.
\(R_1 , R_2\) を \(x\) 軸のまわりに回転してできる立体の体積を, それぞれ \(V_1 , V_2\) とおく.
\[\begin{align}
V_1 & = \pi \displaystyle\int _{\frac{1}{2}}^{1} 2 (x-1)^4 \, dx \\
& = 2 \pi \left[ \dfrac{(x-1)^5}{5} \right] _{\frac{1}{2}}^{1} \\
& = \dfrac{\pi}{80}
\end{align}\]
また
\[\begin{align}
V_2 & = \pi \displaystyle\int _{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{6}}{4}} \left( \dfrac{3}{8} -x^2 \right) \, dx \\
& = \pi \left[ \dfrac{3x}{8} -\dfrac{x^3}{3} \right] _{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{6}}{4}} \\
& = \pi \left( \dfrac{3 \sqrt{6}}{32} -\dfrac{\sqrt{6}}{32} \right) -\pi \left( \dfrac{3}{16} -\dfrac{1}{24} \right) \\
& = \dfrac{\sqrt{6} \pi}{16} -\dfrac{7 \pi}{48}
\end{align}\]
よって, 求める体積 \(V\) は
\[\begin{align}
V & = V_1 -V_2 \\
& = \left( \dfrac{3 +35}{240} -\dfrac{\sqrt{6}}{16} \right) \pi \\
& = \underline{\dfrac{38 -15 \sqrt{6}}{240} \pi}
\end{align}\]