正の整数 \(n\) に対して \[ S _ n = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} \dfrac{1}{k} \] とおき, \(1\) 以上 \(n\) 以下のすべての奇数の積を \(A _ n\) とする.
(1) \(\log _ 2 n\) 以下の最大の整数を \(N\) とするとき, \(2^N A _ n S _ n\) は奇数の整数であることを示せ.
(2) \(S _ n = 2 +\dfrac{m}{20}\) となる正の整数の組 \(( n , m )\) をすべて求めよ.
(3) 整数 \(a\) と \(0 \leqq b \lt 1\) をみたす実数 \(b\) を用いて, \[ A _ {20} S _ {20} = a+b \] と表すとき, \(b\) の値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
条件より, \(2^N \leqq n \leqq 2^{N-1} -1\) であり, 自然数 \(k \ ( 1 \leqq k \leqq n )\) は, 整数 \(\ell \ ( 0 \leqq \ell \leqq N-1 \ ... [1] )\) と, 奇数 \(M \ ( 1 \leqq M \leqq n \ ... [2] )\) を用いて
\[
k = \left\{ \begin{array}{ll} 2^N & ( k = 2^N \ \text{のとき} ) \\ 2^\ell M & ( k \neq 2^N \ \text{のとき} ) \end{array} \right. \quad ... [3]
\]
と表せる.
\(P_n = 2^N A_n S_n\) とおくと
\[
P_n = \textstyle\sum\limits_{k=1}^{n} \underline{\dfrac{2^N A_n}{k}} _{[ \text{A} ]}
\]
\([ \text{A} ] = B_k\) とおいて, \(1 \leqq k \leqq n\) それぞれに対して, \(B_k\) の奇偶を考えると
1* \(k = 2^N\) のとき
[3] より \[ B_k = \dfrac{2^N A_n}{2^N} = A_n \] なので, \(B_k\) は奇数.2* \(k \neq 2^N\) のとき
[3] より \[ B_k = \dfrac{2^N A_n}{2^{\ell} M} = 2^{N -\ell} \cdot \dfrac{A_n}{M} \] [1] より, \(2^{N -\ell}\) は偶数, [2] より \(\dfrac{A_n}{M}\) は奇数なので, \(B_k\) は偶数.
以上より, \(P_n\) は \(1\) つの奇数と \(n-1\) 個の偶数の和であり, よって奇数である.
(2)
\[
S_n = \dfrac{P_n}{2^N A_n}
\]
(1) の結果より, \(P_n , A_n\) はともに奇数なので, \(S_n\) の分母は, \(2^{N+1}\) で割り切れることはない.
条件より, \(S_n = \dfrac{40+m}{20}\) で, \(20 = 2^2 \cdot 5\) なので
\[
N \leqq 2
\]
ゆえに, \(n\) の候補は, \(1 \leqq n \leqq 2^3-1 = 7\) .
それぞれについて, \(S_n\) を求めると,
\[\begin{align}
\begin{array}{c|ccccc} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline S_n & 1 & \dfrac{3}{2} & \dfrac{11}{6} & \dfrac{25}{12} & \dfrac{137}{60} & \dfrac{49}{20} & \dfrac{363}{140} \end{array}
\end{align}\]
\(m \gt 0\) より, \(S_n \gt 2\) なので, \(n \geqq 4\) .
このうち, \(n=6\) のときのみ, 分母が \(20\) の約数となるので, 求める整数の組は
\[
(m,n) = \underline{( 6 , 9 )}
\]
(3)
実数 \(x\) の小数部分を \(\langle x \rangle\) とおく.
(1) の結果から, 奇数 \(r \ ( 1 \leqq r \leqq 15 )\) を用いて
\[
b = \left\langle A _ {20} S _ {20} \right\rangle = \dfrac{r}{16}
\]
と表せる.
\[\begin{align}
A _ {20} S _ {20} & = \underline{A _ {20} \left( 1 +\dfrac{1}{3} +\dfrac{1}{5} +\cdots +\dfrac{1}{19} \right)} _ {[1]} \\
& \quad +\underline{A _ {20} \left( \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{6} +\dfrac{1}{10} +\dfrac{1}{14} +\dfrac{1}{18} \right)} _ {[2]} \\
& \qquad +A _ {20} \underline{\left( \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{12} +\dfrac{1}{20} \right)} _ {[3]} \\
& \qquad \quad +\underline{A _ {20} \cdot \dfrac{1}{8}} _ {[4]} +\underline{A _ {20} \cdot \dfrac{1}{16}} _ {[5]} \ .
\end{align}\]
\(\dfrac{A_n}{M}\) は奇数（整数）となることに着目すれば, [1] は整数, つまり
\[
\langle [1] \rangle = 0 \quad ... [6] \ .
\]
また, 奇数 \(5\) 個の和は奇数となるので,
\[\begin{align}
\langle [2] \rangle & = \left\langle \dfrac{1}{2} \left( A _ {20} +\dfrac{A _ {20}}{3} +\dfrac{A _ {20}}{5} +\dfrac{A _ {20}}{7} +\dfrac{A _ {20}}{9} \right) \right\rangle \\
& = \dfrac{1}{2} \ .
\end{align}\]
ここで, 法 \(16\) の合同式を考えると
\[\begin{align}
A _ {20} & \equiv 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot (-7) \cdot (-5) \cdot (-3) \cdot (-1)\cdot 1 \cdot 3 \\
& \equiv 15^2 \cdot 49 \cdot 3 \\
& \equiv (-1)^2 \cdot 1 \cdot 3 \\
& \equiv 3 \quad ( \text{mod} 16 ) \ .
\end{align}\]
なので
\[
A _ {20} \equiv 3 \quad ( \text{mod} 8 ) , \quad A _ {20} \equiv 3 \quad ( \text{mod} 4 )
\]
したがって
\[
\langle [4] \rangle = \dfrac{3}{8} , \quad \langle [5] \rangle = \dfrac{3}{16} \ .
\]
また, [3] については
\[
[3] = \dfrac{1}{4} A _ {20} \cdot \dfrac{23}{15}
\]
であり, 法 \(4\) の合同式を考えると
\[
23 \equiv 15 \equiv 3 \quad ( \text{mod} 4 )
\]
なので
\[
\langle [3] \rangle = \dfrac{1}{4} \cdot 3 \cdot \dfrac{3}{3} = \dfrac{3}{4}
\]
以上より
\[\begin{align}
b & = \left\langle 0 +\dfrac{1}{2} +\dfrac{3}{4} +\dfrac{3}{8} +\dfrac{3}{16} \right\rangle \\
& = \left\langle \dfrac{8 +12 +6 +3}{16} \right\rangle = \underline{\dfrac{13}{16}}
\end{align}\]