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【 解 答 】

(1)

さいころの目の出方は, \(6^3\) 通り.
\(1\) から \(6\) の平方数は, \(1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36\) なので, 直角三角形となる \(3\) 辺の組合せは, \(( 3 , 4 , 5 )\) のみ.
\(a , b , c \) が この組の数となるのは, \(3 !\) 通りなので, 求める確率は \[ \dfrac{3 !}{6^3} = \underline{\dfrac{1}{36}} \ . \]

(2)

\(a \geqq b \geqq c\) ... [1] と仮定すると, 鈍角三角形になるのは \[ a \lt b+c \quad \text{かつ} \quad a^2 \gt b^2 +c^2 \] が成立するとき.
\(a\) の値で場合分けして, 条件をみたす \(( b , c )\) の組を考える.

• \(a = 6\) のとき \[ ( b , c ) = ( 5 , 3 ) , ( 5 , 2 ) , ( 4 , 4 ) , ( 4 , 3 ) \ . \]

• \(a = 5\) のとき \[ ( b , c ) = ( 4 , 2 ) , ( 3 , 3 ) \ . \]

• \(a = 4\) のとき \[ ( b , c ) = ( 3 , 2 ) \ . \]

• \(a = 3\) のとき \[ ( b , c ) = ( 2 , 2 ) \ . \]

• \(a = 2 , 1\) のときは, 条件をみたす組はない.

以上で求めた \(8\) 組の \((a , b , c)\) の組のうち, \(2\) 数のみが同じ組が \(3\) 組, \(3\) 数がすべて異なる組が \(5\) 組ある.
よって, [1] の仮定を取り除けば, 求める確率は \[ \dfrac{3 \cdot {} _ {3}\text{C} {} _ {2} +5 \cdot 3 !}{6^3} = \underline{\dfrac{13}{72}} \ . \]

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【 解 答 】

(1)

\[\begin{align} ( x+i )^7 & = x^7 +{} _ {7}\text{C} {} _ {1} i x^6 +{} _ {7}\text{C} {} _ {2} i^2 x^5 +{} _ {7}\text{C} {} _ {3} i^3 x^4 \\ & \qquad +{} _ {7}\text{C} {} _ {4} i^4 x^3 +{} _ {7}\text{C} {} _ {5} i^5 x^2 +{} _ {7}\text{C} {} _ {6} i^6 x +i^7 \\ & = x^7 +7i x^6 -21 x^5 -35i x^4 \\ & \qquad +35x^3 +21i x^2 -7x -i \quad ... [1] \ . \end{align}\] [1] の各項の係数を用いて, 符号に注意すれば \[\begin{align} ( x-i )^7 & = x^7 -7i x^6 -21 x^5 +35i x^4 \\ & \qquad +35x^3 -21i x^2 -7x +i \quad ... [2] \ . \end{align}\] したがって \[\begin{align} P(x) & = \dfrac{[1] -[2]}{2i} \\ & = 7 x^6 -35 x^4 +21 x^2 -1 \quad ... [3] \ . \end{align}\] よって \[ ( a_0 , a_1 , a_2 , a_3 , a_4 , a_5 , a_6 . a_7 ) = \underline{( 0 , 7 , 0 , -35 , 0 , 21 , 0 , -1 )} \ . \]

(2)

ド・モアブルの定理を用いれば \[\begin{align} P \left( \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} \right) & = \dfrac{( \cos \theta +i \sin \theta )^7 -( \cos \theta -i \sin \theta )^7}{2i \sin^7 \theta} \\ & = \dfrac{( \cos 7 \theta +i \sin 7 \theta ) -( \cos 7 \theta -i \sin 7 \theta )^7}{2i \sin^7 \theta} \\ & = \dfrac{\sin 7 \theta}{\sin^7 \theta} \end{align}\]

(3)

\[ Q(x) = 7 x^3 -35 x^2 +21 x -1 \ . \] [3] と比較すれば \[ Q( x^2 ) = P(x) \ . \] これを用いると \[\begin{align} Q( x_k ) & = Q \left( \dfrac{\cos^2 k \theta}{\sin^2 k \theta} \right) = P \left( \dfrac{\cos k \theta}{\sin k \theta} \right) \\ & = \dfrac{\sin 7 k \theta}{\sin^7 k \theta} \qquad( \ \text{∵} \ \text{(2)の結果} \ ) \\ & = \dfrac{\sin k \pi}{\sin^7 \frac{k \pi}{7}} \qquad ( \text{∵} \ \theta = \dfrac{\pi}{7} ) \\ & = 0 \ . \end{align}\] 関数 \(\dfrac{1}{\tan^2 u}\) が \(0 \lt u \lt \dfrac{\pi}{2}\) において単調減少するので, \(x_k = \dfrac{\cos^2 k \theta}{\sin^2 k \theta} = \dfrac{1}{\tan^2 \frac{k \pi}{7}} \ ( k = 1, 2, 3 )\) は, それぞれ異なる実数である.
\(Q(x) = 0\) は \(x\) の \(3\) 次方程式で, 高々 \(3\) つの実数解しか持たないので, \(x_1 , x_2 , x_3\) が \(Q(x) = 0\) の \(3\) つの解である.
よって, 解と係数の関係より \[ x_1 +x_2 +x_3 = -\dfrac{(-35)}{7} = \underline{5} \ . \]

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【 解 答 】

(1)

△ OPQ は上図のような直角三角形で, \(t\) のとりうる値の範囲は \(0 \leqq t \leqq 1\) ... [1] .
\(S\) の \(\alpha\) による切り口は円で, その半径を \(r_t\) とおくと \[ r_t = \sqrt{2 -t^2} \ . \] よって, 求める面積は \[ \underline{\pi \left( 2 -t^2 \right)} \ . \]

(2)

T から OQ に下した垂線の足を H とおくと, \(\triangle \text{OPQ} \sim \triangle \text{THQ}\) なので \[ \text{TH} = \dfrac{\sqrt{3} ( 1-t )}{2} \ . \] \(S\) の \(\beta\) による切り口は円で, その半径を \(R_t\) とおくと \[ R_t = \sqrt{2 -\dfrac{3}{4} (1-t)^2} = \dfrac{1}{2} \sqrt{5 +6t -3 t^2} \ . \] したがって \[\begin{align} f(t) & = \pi \left( {r_t}^2 +{R_t}^2 \right) \\ & = \dfrac{\pi}{4} \left( 13 +6t -7t^2 \right) \\ & = \dfrac{\pi}{4} \left\{ -7 \left( t -\dfrac{3}{7} \right)^2 +\dfrac{100}{7} \right\} \ . \end{align}\] よって, [1] の範囲で, \(f(t)\) は \(t = \underline{\dfrac{3}{7}}\) のとき, 最大値 \[ f \left( \dfrac{3}{7} \right) = \dfrac{\pi}{4} \cdot \dfrac{100}{7} =\underline{\dfrac{25 \pi}{7}} \] をとる.

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【 解 答 】

\(g(x) = \sin (t-x) -\sin 2t\) とおく.
和・積の公式を用いると \[\begin{align} g(x) & = 2 \cos \dfrac{(t-x) +2t}{2} \, \sin \dfrac{(t-x) -2t}{2} \\ & = -2 \underline{\cos \dfrac{3t -x}{3}} _ {[1]} \, \underline{\sin \dfrac{t+x}{2}} _ {[2]} \ . \end{align}\] \(0 \leqq x \leqq \pi\) , \(0 \leqq t \leqq \pi\) に注意して, [1] [2] の符号について考える.
[1] については

• \(-\dfrac{\pi}{2} \leqq \dfrac{3t -x}{2} \leqq \dfrac{\pi}{2}\) すなわち \(\dfrac{x -\pi}{3} \leqq 0 \leqq t \leqq \dfrac{x +\pi}{3}\) のとき \[ [1] \geqq 0 \ . \]

• \(\dfrac{\pi}{2} \leqq \dfrac{3t -x}{2} \leqq \dfrac{3 \pi}{2}\) すなわち \(\dfrac{x +\pi}{3} \leqq t \leqq \pi \leqq x +\dfrac{\pi}{3}\) のとき \[ [1] \leqq 0 \ . \]

[2] については, 常に \(0 \leqq \dfrac{t+x}{2} \leqq \pi\) なので \[ [2] \geqq 0 \ . \] 以上より, \(\alpha = \dfrac{x +\pi}{3}\) とおけば \[ f(x) = \displaystyle\int _ {0}^{\alpha} g(t) \, dt - \displaystyle\int _ {\alpha}^{\pi} g(t) \, dt \ . \] ここで, \(G(t) = \displaystyle\int g(t) \, dt\) とおくと \[ G(t) = \cos (t-x) -\dfrac{1}{2} \cos 2t +C \quad ( \ C \ \text{は積分定数}) \] であり \[\begin{align} G( \alpha ) & = \cos ( \alpha -x ) -\dfrac{1}{2} \cos 2 \alpha +C \\ & = \cos \dfrac{\pi -2x}{3} -\dfrac{1}{2} \cos \dfrac{2 ( \pi +x )}{3} \ , \\ G(0) & = \cos x -\dfrac{1}{2} +C \ , \\ G( \pi ) & = -\cos x -\dfrac{1}{2} +C \ . \end{align}\] したがって \[\begin{align} f(x) & = 2 G( \alpha ) -G(0) -G( \pi ) \\ & = 2 \left( \dfrac{1}{2} \cos \dfrac{2x}{3} +\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin \dfrac{2x}{3} \right) \\ & \qquad -\left( -\dfrac{1}{2} \cos \dfrac{2x}{3} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin \dfrac{2x}{3} \right) \\ & \qquad \qquad -\cos x +\dfrac{1}{2} +\cos x +\dfrac{1}{2} \\ & = \dfrac{3}{2} \cos \dfrac{2x}{3} +\dfrac{3 \sqrt{3}}{2} \sin \dfrac{2x}{3} +1 \\ & = \dfrac{3}{4} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin \dfrac{2x}{3} +\dfrac{1}{2} \cos \dfrac{2x}{3} \right) +1 \\ & = 3 \sin \underline{\left( \dfrac{2x}{3} +\dfrac{\pi}{6} \right)} _ {[3]} +1 \ . \end{align}\] \(\dfrac{\pi}{6} \leqq [3] \leqq \dfrac{5 \pi}{6}\) なので

• 最大値は, \(f \left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 3 \cdot 1 +1 = \underline{4}\) .

• 最小値は, \(f \left( \dfrac{\pi}{6} \right) = f \left( \dfrac{5 \pi}{6} \right) = 3 \cdot \dfrac{1}{2} +1 = \underline{\dfrac{5}{2}}\) .

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【 解 答 】

P \(\left( \cos \theta , \dfrac{1}{2} \sin \theta \right) \ \left( 0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2} \right)\) と表せる.
\(\ell\) は P における \(C\) の接線なので, \(\ell\) の式は \[ x \cos \theta +2y \sin \theta = 1 \ . \] \(m\) は \(\ell\) と垂直で, P を通るので, \(m\) の式は \[\begin{gather} 2 ( x -\cos \theta ) \sin \theta -\left( y -\dfrac{1}{2} \sin \theta \right) \cos \theta = 0 \\ \text{∴} \quad 2x \sin \theta -y \cos \theta = \dfrac{3}{2} \cos \theta \sin \theta \ . \end{gather}\] したがって, \(m\) の \(x\) 切片, \(y\) 切片はそれぞれ \[ \dfrac{3}{4} \sin \theta , \quad -\dfrac{3}{2} \cos \theta \ . \] なので \[\begin{align} S & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} \sin \theta \cdot \dfrac{3}{2} \cos \theta \\ & = \dfrac{9}{16} \sin 2 \theta \leqq \dfrac{9}{16} \ . \end{align}\] 等号成立は, \(2 \theta = \dfrac{\pi}{2}\) すなわち \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\) のとき.
よって, \(S\) は P が \(\underline{\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} , \dfrac{\sqrt{2}}{4} \right)}\) のとき, 最大値 \(\underline{\dfrac{9}{16}}\) をとる.

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【 解 答 】

(1)

P \(( p , q )\) とおくと, 条件から \[ p \gt 0 , \ 0 \lt p+q \lt p^3 \quad ... [1] \ . \] \(C\) の式より \[ y' = 3x^2 -1 \ . \] \(C\) 上の点 \(( t , t^3 -t )\) における \(C\) の接線の式は \[\begin{align} y & = ( 3t^2 -1 ) (x-t) +t^3 -t \\ & = ( 3t^2 -1 ) x -2t^3 \ . \end{align}\] これが P を通るならば \[\begin{gather} q = ( 3t^2 -1 ) p -2t^3 \\ \text{∴} \quad 2t^3 -3p t^2 +p +q = 0 \quad ... [2] \ . \end{gather}\] \(t\) の方程式 [2] が \(3\) つの異なる実数解をもつことを示せばよい.
[2] の左辺を \(f(t)\) とおくと \[ f'(t) = 6t^2 -6pt = 6t (t-x) \ . \] したがって, \(f(t)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} t & \cdots & 0 & \cdots & p & \cdots \\ \hline f'(t) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(t) & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \text{極小} & \nearrow \end{array} \] ここで, [1] より \[\begin{align} f(0) & = p+q \gt 0 \ , \\ f(p) & = -p^3 +p +q \lt 0 \ . \end{align}\] なので, \(y = f(t)\) のグラフと \(y = 0\) は異なる \(3\) つの交点をもつ.
よって, 方程式 [2] は異なる \(3\) つの実数解をもち, 題意は示された.

(2)

[2] の \(3\) つの解を \(\alpha , \beta \gamma\) とおくと, 条件より \[ \left\{ \begin{array}{ll} 3 ( {\alpha}^2 +{\beta}^2 +{\gamma}^2) -3 = 0 & ... [2] \\ ( 3 {\alpha}^2 -1 ) ( 3 {\beta}^2 -1 ) ( 3 {\gamma}^2 -1 ) = 0 & ... [3] \end{array} \right. \ . \] また, 解と係数の関係より \[\begin{align} \alpha +\beta +\gamma & = \dfrac{3p}{2} \\ \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha & = 0 \\ \alpha \beta \gamma & = -\dfrac{p+q}{2} \ . \end{align}\] これらと, [2] より \[\begin{align} ( \alpha +\beta +\gamma )^2 -2 ( \alpha \beta & +\beta \gamma +\gamma \alpha ) -1 = 0 \\ \dfrac{9p^2}{4} & = 1 \\ \text{∴} \quad p & = \dfrac{2}{3} \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ ) \ . \end{align}\] したがって \[ f(t) = 2t^3 -2t^2 +q +\dfrac{2}{3} \ . \] [3] より, \(\alpha , \beta , \gamma\) のいずれかが \(\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}\) であり, 対称性から \(\alpha = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}\) としてよい.
このとき \[\begin{align} f( \pm \alpha ) & = \pm \dfrac{2 \sqrt{3}}{9} -\dfrac{2}{3} +q +\dfrac{2}{3} = 0 \\ \text{∴} \quad q & = \pm \dfrac{2 \sqrt{3} \ . }{9} \end{align}\] ここで, [1] より \[ p^3 -p = \dfrac{8}{27} -\dfrac{2}{3} = -\dfrac{10}{27} \gt q \ . \] \(10^2 \lt 6^2 \cdot 3\) より \(\dfrac{10}{27} \lt \dfrac{2 \sqrt{3}}{9}\) なので, \(q = -\dfrac{2 \sqrt{3}}{9}\) のみが適する.
よって, 求める P の座標は \[ \underline{\left( \dfrac{2}{3} , -\dfrac{2 \sqrt{3}}{9} \right)} \ . \]

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【 解 答 】

(1)

(＊) の判別式 \(D\) について \[\begin{align} D = {p _ 2}^2 & -16 p _ 1 p _ 3 \geqq 0 \\ \text{∴} \quad & {p _ 2}^2 \geqq 16 p _ 1 p _ 3 \ . \end{align}\] \(p _ 1 , p _ 2 , p _ 3\) はサイコロの目なので \[\begin{align} 16 p _ 1 p _ 3 \leqq {p _ 2}^2 & \leqq 6^2 \\ p _ 1 p _ 3 & \leqq \dfrac{9}{4} \\ \text{∴} \quad p _ 1 p _ 3 & = 1 , 2 \ . \end{align}\] それぞれの場合について

1. 1*　\(p _ 1 p _ 3 = 1\) のとき, \(p^2 \geqq 16\) なので \[ p _ 2 = 4 , 5 , 6 \ . \] したがって, \(( p _ 1 , p _ 2 , p _ 3 )\) の組は, \(3\) 通り.

2. 2*　\(p _ 1 p _ 3 = 2\) のとき, \(p^2 \geqq 32\) なので \[ p _ 2 = 6 \ . \] したがって, \(( p _ 1 , p _ 2 , p _ 3 )\) の組は, \(2\) 通り.

よって, 求める確率は \[ \dfrac{3+2}{6^3} = \underline{\dfrac{5}{216}} \ . \]

(2)

解と係数の関係より \[ \alpha \beta = \dfrac{p _ 3}{p _ 1} \ . \] なので, \(\alpha \beta = 1\) より \[ p _ 1 = p _ 3 \quad ... [1] \ . \] [1] をみたす \(( p _ 1 , p _ 2 , p _ 3 )\) の組は \[ 6 \cdot 6 = 36 \ \text{通り} \ . \] このうち, (1) の1* の場合が含まれていることに注意すれば, 求める確率は \[ \dfrac{36 -3}{6^3} = \underline{\dfrac{11}{72}} \ . \]

(3)

\(\alpha \beta \lt 1\) より \[ p _ 1 \gt p _ 3 \quad ... [2] \ . \] [2] をみたす \(( p _ 1 , p _ 2 , p _ 3 )\) の組は \[ {} _ {6} \text{C} {} _ 2 \cdot 6 = 90 \ \text{通り} \ . \] このうち, (1) の2* の中の \(1\) 通り（ \(( p _ 1 , p _ 2 , p _ 3 ) = ( 2 , 6 , 1 )\) ）が含まれていることに注意すれば, 求める確率は \[ \dfrac{90 -1}{6^3} = \underline{\dfrac{89}{216}} \ . \]

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【 解 答 】

(1)

\(2n \pi \leqq x \leqq (2n+1) \pi\) において, \(\dfrac{1}{x^a}\) は単調減少であり, また \(\sin x \geqq 0\) なので \[ \dfrac{\sin x}{\{ (2n+1) \pi \}^a} \leqq \dfrac{\sin x}{x^a} \leqq \dfrac{\sin x}{( 2n \pi )^a} \quad ... [1] \ . \] ここで \[ \displaystyle\int _ {2n \pi}^{(2n+1) \pi} \sin x \, dx = [ -\cos x ] _ {2n \pi}^{(2n+1) \pi} = 2 \ . \] なので, [1] の辺々を積分して \[ \dfrac{2}{\left\{ (2n+1) \pi \right\}^a} \leqq B _ n \leqq \dfrac{2}{\left( 2n \pi \right)^a} \ . \]

(2)

\[ A _ n = \dfrac{1}{2} \cdot \pi \cdot \dfrac{1}{\left\{ \left( 2n +\frac{1}{2} \right) \pi \right\}^a} = \dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{1}{\left\{ \left( 2n +\frac{1}{2} \right) \pi \right\}^a} \quad ... [2] \ . \] これと, (1) の結果を用いれば \[\begin{align} \dfrac{\pi}{4} \cdot \dfrac{( 2n \pi )^a}{\left\{ \left( 2n +\frac{1}{2} \right) \pi \right\}^a} & \leqq \dfrac{A _ n}{B _ n} \leqq \dfrac{\pi}{4} \cdot \dfrac{\{ (2n+1) \pi \}^a}{\left\{ \left( 2n +\frac{1}{2} \right) \pi \right\}^a} \\ \text{∴} \quad \dfrac{\pi}{4} \cdot \left( 1 -\dfrac{2}{4n+1} \right)^a & \leqq \dfrac{A _ n}{B _ n} \leqq \dfrac{\pi}{4} \cdot \left( 1 +\dfrac{2}{4n+1} \right)^a \quad ... [3] \ . \end{align}\] ここで \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( 1 \pm \dfrac{2}{4n+1} \right) = 1 \ . \] なので, \(n \rightarrow \infty\) のとき \[ ( [3] \text{の第1辺} ) \rightarrow \dfrac{\pi}{4} , \ ( [3] \text{の第3辺} ) \rightarrow \dfrac{\pi}{4} \ . \] よって, はさみうちの原理より \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{A _ n}{B _ n} = \underline{\dfrac{\pi}{4}} \ . \]

(3)

\(\sin^2 x \geqq 0\) なので, (1) と同様に考えれば \[\begin{align} \displaystyle\int _ {2n \pi}^{(2n+1) \pi} \sin^2 x \, dx & = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int _ {2n \pi}^{(2n+1) \pi} ( 1 -\cos 2x ) \, dx \\ & = \dfrac{1}{2} \left[ x -\dfrac{1}{2} \sin 2x \right] _ {2n \pi}^{(2n+1) \pi} = \dfrac{\pi}{2} \ . \end{align}\] なので \[ \dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{1}{\left\{ (2n+1) \pi \right\}^a} \leqq C _ n \leqq \dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{2}{\left( 2n \pi \right)^a} \ . \] これと [2] より \[\begin{align} \dfrac{( 2n \pi )^a}{\left\{ \left( 2n +\frac{1}{2} \right) \pi \right\}^a} & \leqq \dfrac{A _ n}{C _ n} \leqq \dfrac{\{ (2n+1) \pi \}^a}{\left\{ \left( 2n +\frac{1}{2} \right) \pi \right\}^a} \\ \text{∴} \quad \left( 1 -\dfrac{2}{4n+1} \right)^a & \leqq \dfrac{A _ n}{C _ n} \leqq \left( 1 +\dfrac{2}{4n+1} \right)^a \ . \end{align}\]

(2) と同様に, はさみうちの原理より \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{A _ n}{C _ n} = \underline{1} \ . \]

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