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【 解 答 】

(1)

条件より, \(\angle \text{A}\) が鈍角になることはない.

• \(\angle \text{B}\) が鈍角になるとき
  点 P が直線 \(x = 2\) より右側にあるときなので \[ t \gt 2 \ . \]

• \(\angle \text{P}\) が鈍角になるとき
  円周角の定理から, 点 P が AB を直径とする円の内部にあるときで \[ 0 \lt t \lt 1 \]

以上より, 求める条件は \[ \underline{1 \leqq t \leqq 2} \ . \]

(2)

垂心を H とおくと, PH と \(x\) 軸は垂直なので, H \(( t , s )\) とおける. \[\begin{align} \overrightarrow{\text{AP}} & = ( t+2 , \sqrt{3} ) , \\ \overrightarrow{\text{BH}} & = ( t-2 , s ) \ . \end{align}\] \(\overrightarrow{\text{AP}} \perp \overrightarrow{\text{BH}}\) なので \[\begin{align} \overrightarrow{\text{AP}} \cdot \overrightarrow{\text{BH}} & = t^2 -4 +\sqrt{3} ts = 0 \\ \text{∴} \quad & s = \dfrac{4 -t^2}{\sqrt{3} t} \ . \end{align}\] よって \[ \text{H} \ \underline{\left( t , \dfrac{4 -t^2}{\sqrt{3} t} \right)} \ . \]

(3)

四面体の M, Q, R 以外の頂点を T とする.
中線連結定理より, 折り目は各辺と平行であるから, QR を折り曲げると, 点 P は PH を含み \(xy\) 平面に垂直な平面上を動く.
点 A, B についても同様に考えれば, 点 T は 点 H を通り \(xy\) 平面に垂直な直線上にあるといえる.
\(\text{TH} = h\) とおいて, \(\triangle \text{MHT}\) に着目すれば, 三平方の定理より \[\begin{align} h^2 & = \text{AM}^2 -\text{MH}^2 \\ & = 2^2 -t^2 -\dfrac{( 4 -t^2 )^2}{3 t^2} \\ & = \dfrac{( 4 -t^2 ) ( 3t^2 -4 +t^2 )}{3 t^2} \\ & = \dfrac{4 ( 4 -t^2 ) ( t^2 -1 )}{3 t^2} \ . \end{align}\] また \[\begin{align} \triangle \text{MQR} & = \dfrac{1}{4} \triangle \text{ABP} \\ & = \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \sqrt{t} = \dfrac{\sqrt{3} t}{2} \ . \end{align}\] したがって, 四面体の体積 \(V\) は \[\begin{align} V & = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3} t}{2} \cdot \dfrac{2 \sqrt{( 4 -t^2 ) ( t^2 -1 )}}{\sqrt{3} t} \\ & = \dfrac{1}{3} \sqrt{-t^4 +5t^2 -4} \\ & = \dfrac{1}{3} \sqrt{-\left( t^2 -\dfrac{5}{2} \right)^2 +\dfrac{9}{4}} \\ & \leqq \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2} \ . \end{align}\] すなわち, 求める最大値は \[ \underline{\dfrac{1}{2}} \ . \] このときの \(t\) の値は \[ t = \sqrt{\dfrac{5}{2}} = \underline{\dfrac{\sqrt{10}}{2}} \ . \]

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【 解 答 】

(1)

(P)：「 \(n\) が \(k - \text{連続和}\) である. 」とおく.

• \((\text{P}) \Rightarrow (\text{A}) , (\text{B})\) の証明
  (P) より \[\begin{align} n & = mk +1 +2 + \cdots +(n-1) \\ & = mk +\dfrac{(k-1) k}{2} \quad ... [1] \ . \end{align}\] [1] の両辺を \(k\) で割れば \[\begin{align} \dfrac{n}{k} & = m +\dfrac{k-1}{2} \\ \text{∴} \quad \dfrac{n}{k} & -\dfrac{k}{2} +\dfrac{1}{2} = m \ . \end{align}\] したがって, (A) が成立する.
  また, [1] を用いれば \[\begin{align} 2n & = 2mk +k^2 -k \\ & = k^2 +k (2m-1) \\ & \gt k^2 \quad ( \ \text{∵} \ 2m-1 \gt 0 \ ) \ . \end{align}\] ゆえに, (B) が成立する.

• \((\text{A}) , (\text{B}) \Rightarrow (\text{P})\) の証明
  (A) より, \(\dfrac{n}{k} -\dfrac{k}{2} +\dfrac{1}{2} = M\) （ \(M\) は整数）とおける.
  (B) より, \(\dfrac{n}{k} \gt \dfrac{k}{2}\) なので \[ M \gt \dfrac{1}{2} \ . \] つまり, \(M\) は自然数である.
  また \[\begin{align} n & -\dfrac{(k-1) k}{2} = kM \\ \text{∴} \quad n & = kM +1 +2 + \cdots +(n-1) \\ & = M +(M+1) +(M+2) + \cdots +(M+n-1) \ . \end{align}\] したがって, (P) が成立する.

以上より, 題意は示された.

(2)

背理法を用いて示す.
条件を満たす \(k \geqq 2\) があるならば, [1] より \[\begin{align} 2^f & = mk +\dfrac{(k-1) k}{2} \\ \text{∴} \quad 2^{f+1} & = k ( k +2m -1 ) \ . \end{align}\] \(2m -1\) は奇数なので, \(k\) と \(k +2m -1\) は奇偶が異なる.
また, \(k \lt k +2m -1\) なので \[ k = 1 , \ k +2m -1 = 2^{f+1} \ . \] これは, \(k \geqq 2\) を満たさないので, 不適.
よって, 題意は示された.

(3)

[1] より \[\begin{align} p^f & = mk +\dfrac{(k-1) k}{2} \\ \text{∴} \quad 2 p^f & = k ( k +2m -1 ) \ . \end{align}\] \(k \ ( \geqq 2 )\) と \(k +2m -1 \ ( \geqq 3 )\) は奇偶が異なり, \(p\) が奇数の素数であることから \[\begin{align} ( k , k+2m-1 ) & = \left\{ \begin{array}{ll} \left( p^g , 2 p^{f-g} \right) & ( \ k \ \text{が奇数のとき} \ ) \\ \left( 2 p^{g-1} , p^{f-g+1} \right) & ( \ k \ \text{が偶数のとき} \ ) \end{array} \right. \\ & ( \ \text{ただし} \ g = 1 , 2 ,\cdots , f ) \ . \end{align}\] これをみたす \(k\) は \(2f\) 個あるが, どの場合も \(k \neq k +2m -1\) （ ∵ 奇偶が異なる. ）なので, このうち \(k \lt k +2m -1\) をみたすものは, \(\dfrac{2f}{2} = f\) 個である.
よって, 求める個数は \[ \underline{f \quad \text{個}} \ . \]

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【 解 答 】

(1)

\[ \text{AD} = \sqrt{3^2 +6} = \sqrt{15} \ . \] M から DG に下ろした垂線の足を H とおけば, H \(\left( 0 , \dfrac{3}{2} , \sqrt{6} \right)\) であり \[ \text{MH} = \text{AD} = \sqrt{15} \ . \] \(\text{HN} = t\) とおけば, △MHN は直角三角形なので \[\begin{align} 15 +t^2 & = 4^2 \\ \text{∴} \quad t & = 1 \ . \end{align}\] \(\text{DN} \lt \text{GN}\) なので \[ \text{N} \ \underline{\left( -1 , \dfrac{1}{2} , \sqrt{6} \right)} \ . \]

(2)

四角形 EMPN は平行四辺形になるので \[ \overrightarrow{\text{MP}} = \overrightarrow{\text{EN}} = \left( -2 , \dfrac{1}{2} , 0 \right) \ . \] よって \[ \text{P} \ \underline{\left( 0 , \dfrac{3}{2} , 0 \right)} \ . \]

(3)

\[\begin{align} \overrightarrow{\text{PM}} & = \left( 2 , -\dfrac{1}{2} , 0 \right) , \\ \overrightarrow{\text{PN}} & = \left( -1 , -\dfrac{3}{2} , \sqrt{6} \right) \ . \end{align}\] なので \[\begin{align} \left| \overrightarrow{\text{PM}} \right|^2 & = 2^2 +\left( -\dfrac{1}{2} \right)^2 +0 = \dfrac{17}{4} , \\ \left| \overrightarrow{\text{PN}} \right|^2 & = (-1)^2 +\left( -\dfrac{3}{2} \right)^2 +6 = \dfrac{37}{4} , \\ \overrightarrow{\text{PM}} \cdot \overrightarrow{\text{PN}} & = 2 (-1) -\dfrac{1}{2} \left( -\dfrac{3}{2} \right) +0 \cdot \sqrt{6} = -\dfrac{5}{4} \ . \end{align}\] よって, 求める面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = \sqrt{\left| \overrightarrow{\text{PM}} \right|^2 \left| \overrightarrow{\text{PN}} \right|^2 -\left( \overrightarrow{\text{PM}} \cdot \overrightarrow{\text{PN}} \right)^2} \\ & = \sqrt{\dfrac{17}{4} \cdot \dfrac{37}{4} -\left( -\dfrac{5}{4} \right)^2} \\ & = \underline{\dfrac{\sqrt{151}}{2}} \ . \end{align}\]

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【 解 答 】

(1)

\(10\) 個の玉から \(2\) 個を取り出す方法は, \({} _ {10} \text{C} {} _ {2}\) 通り.
積が \(10\) になるのは, 「 \(2 ,5\) 」が出ればよい.
各数字の玉は \(2\) つずつあるので, 求める確率は \[ \dfrac{2 \cdot 2}{{} _ {10} \text{C} {} _ {2}} = \underline{\dfrac{4}{45}} \ . \]

(2)

\(10\) 個の玉から \(4\) 個を取り出す方法は, \({} _ {10} \text{C} {} _ {4}\) 通り.
積が \(100\) になるのは, 「 \(2 ,2, 5, 5\) 」または「 \(1, 4, 5, 5\) 」が出ればよい.
よって, 求める確率は \[ \dfrac{1 +2 \cdot 2}{{} _ {10} \text{C} {} _ {4}} = \dfrac{5}{210} = \underline{\dfrac{1}{42}} \ . \]

(3)

\(10\) 個の玉から \(3\) 個ずつを取り出し, それぞれを A 組, B 組として, \(2\) 組の数字の積が等しい確率を求めればよい.
A 組, B 組の取り出す方法は, \({} _ {10} \text{C} {} _ {3} \cdot {} _ {7} \text{C} {} _ {3}\) 通り.
積が等しくなるのは, 以下の \(2\) つの場合が考えられる.

1. 1*　同じ「 \(3\) つの異なる数字」が含まれるとき
   \(3\) つの数字の選ばれ方と, 各数字の玉が A , B どちらの組に含まれるか, を考慮すれば, このときの場合の数は \[ {} _ {5} \text{C} {} _ {3} \cdot 2^3 = 80 \ \text{通り} \ . \]
2. 2*　\(3\) または \(5\) が共通し, 一方の組で「 \(1, 4\) 」, 他方の組で「 \(2, 2\) 」が含まれるとき
   共通する数字の選ばれ方, 各数字の玉のどちらが選ばれるか, また, A , B どちらの組に含まれるか, を考慮すれば, このときの場合の数は \[ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2^2 = 32 \ \text{通り} \ . \]

以上より, 求める確率は \[ \dfrac{80 +32}{{} _ {10} \text{C} {} _ {3} \cdot {} _ {7} \text{C} {} _ {3}} = \dfrac{112}{4200} = \underline{\dfrac{2}{75}} \ . \]

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【 解 答 】

P \(( 1 , 0 )\) , Q \(\left( \dfrac{3}{2} , \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right)\) , R \(\left( \dfrac{3}{2} , -\dfrac{\sqrt{7}}{2} \right)\) の場合を考える.
このとき, △PQR は 領域 \(D\) に含まれている.
P' の座標は \[ \left( \begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ . \] これが, 領域 \(D\) に含まれるので \[ 1 \leqq a^2 +b^2 \leqq 4 \quad ... [1] \ . \] また, Q' , R' の座標は \[ \left( \begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dfrac{3}{2} \\ \pm \dfrac{\sqrt{7}}{2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \dfrac{3a \mp \sqrt{7} b}{2} \\ \dfrac{3b \pm \sqrt{7} a}{2} \end{array} \right) \ . \] これも, 領域 \(D\) に含まれるので \[\begin{align} 1 \leqq \left( \dfrac{3a \mp \sqrt{7} b}{2} \right)^2 & +\left( \dfrac{3b \pm \sqrt{7} a}{2} \right)^2 \leqq 4 \\ 1 \leqq 4 a^2 & +4 b^2 \leqq 4 \\ \text{∴} \quad \dfrac{1}{4} \leqq a^2 & +b^2 \leqq 1 \quad ... [2] \ . \end{align}\] [1] [2] より \[ a^2 +b^2 = 1 \quad ... [3] \ . \] であることが必要である.
このとき, \(a = \cos \theta\) , \(b = \sin \theta\) とおくことができて \[ A = \left( \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) \ . \] なので, \(A\) は原点を中心にした角 \(\theta\) の回転を表す.
領域 \(D\) の境界は, 原点を中心とする円なので, △PQR が領域 \(D\) に含まれれば, △P'Q'R' も領域 \(D\) に含まれる.
したがって, [3] は十分条件でもある.
よって, 求める条件は \[ \underline{a^2 +b^2 = 1} \ . \]

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【 解 答 】

(1)

\[\begin{align} I _ 0 & = \displaystyle\int _ {\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{\sin x} \, dx = \displaystyle\int _ {\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{( \sin x )'}{\sin x} \, dx \\ & = \left[ \log \left| \sin x \right| \right] _ {\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{2}} = 0 -\log \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ & = \underline{\dfrac{\log 2}{2}} \ . \end{align}\]

(2)

三角関数の和積の公式を用いれば \[\begin{align} \cos & \left( (2n+1) x \right) -\cos \left( (2n-1) x \right) \\ & = -2 \sin \dfrac{(2n+1) x +(2n-1) x}{2} \sin \dfrac{(2n+1) x -(2n-1) x}{2} \\ & = -2 \sin 2nx \sin x \ . \end{align}\] なので \[\begin{align} I _ n -I _ {n-1} & = \displaystyle\int _ {\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{2}} \left( -2 \sin 2nx \right) \, dx \\ & = \dfrac{1}{n} \left[ \cos 2nx \right] _ {\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{2}} \\ & = \dfrac{\cos n \pi -\cos \frac{n \pi}{2}}{n} \ . \end{align}\] ここで \[\begin{align} \cos n \pi & = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & ( \ n \text{が偶数のとき} ) \\ -1 & ( \ n \text{が奇数のとき} ) \end{array} \right. \ . \end{align}\] また, \(k\) を非負整数として \[\begin{align} \cos \dfrac{n \pi}{2} & = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & ( \ n = 4k \ \text{のとき} ) \\ 0 & ( \ n = 4k+1 \ \text{のとき} ) \\ -1 & ( \ n = 4k+2 \ \text{のとき} ) \\ 0 & ( \ n = 4k+3 \ \text{のとき} ) \\ \end{array} \right. \ . \end{align}\] よって \[ I _ n -I _ {n-1} = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 0 & ( \ n = 4k \ \text{のとき} ) \\ -\dfrac{1}{n} & ( \ n = 4k+1 \ \text{のとき} ) \\ \dfrac{2}{n} & ( \ n = 4k+2 \ \text{のとき} ) \\ -\dfrac{1}{n} & ( \ n = 4k+3 \ \text{のとき} ) \\ \end{array} \right. \quad} \ . \]

(3)

(2) の結果を用いれば \[\begin{align} I _ 5 & = I _ 0 +\textstyle\sum\limits _ {n=1} ^5 ( I _ n -I _ {n-1} ) \\ & = \dfrac{\log 2}{2} +0 -1 +1 -\dfrac{1}{3} +0 -\dfrac{1}{5} \\ & = \underline{\dfrac{\log 2}{2} -\dfrac{8}{15}} \ . \end{align}\]

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【 解 答 】

(1)

\[\begin{align} f'(x) & = \dfrac{n+1}{a+x} -\dfrac{1}{x} \\ & = \dfrac{(n+1) x -(a+x)}{x (a+x)} \\ & = \dfrac{nx -a}{x (a+x)} \ . \end{align}\] \(f'(x) = 0\) をとくと \[ x =\dfrac{a}{n} \ . \] したがって, \(f(x)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|cccc} x & (0) & \cdots & \dfrac{a}{n} & \cdots \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + \\ \hline f(x) & & \searrow & \text{極小} & \nearrow \end{array} \] よって, 求める極値は \[\begin{align} f \left( \dfrac{a}{n} \right) & = (n+1) \left\{ \log \dfrac{a (n+1)}{n} -\log (n+1) \right\} \\ & \qquad -n \log \dfrac{a}{n} -\log \dfrac{a}{n} \\ & = \underline{0} \ . \end{align}\]

(2)

(1) の結果より, \(f(x) \geqq 0\) なので \[\begin{align} \log \left( \dfrac{a+x}{n+1} \right)^{n+1} -\log & \left( \dfrac{a}{n} \right)^n x \geqq 0 \\ \text{∴} \quad \left( \dfrac{a+x}{n+1} \right)^{n+1} & \geqq \left( \dfrac{a}{n} \right)^n x \quad ... [1] \ . \end{align}\] 示したい不等式 \[ \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \dfrac{k+1}{k} \gt (n+1)^{\frac{1}{n}} \quad ... [ \text{A} ] \] が, \(2\) 以上の自然数 \(n\) について成立することを, 数学的帰納法を用いて示す.

1. 1*　\(n = 2\) のとき \[\begin{align} \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{2}{1} +\dfrac{3}{2} \right) & = \dfrac{7}{4} \ , \\ ( 2 +1 )^{\frac{1}{2}} & = \sqrt{3} \ . \end{align}\] \(\left( \dfrac{7}{4} \right)^2 = \dfrac{49}{16} \gt 3\) なので, [A] が成立する.

2. 2*　\(n = m \ ( m \geqq 2 )\) のとき
   [A] が成立すると仮定すると \[\begin{align} \dfrac{1}{m} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^m \dfrac{k+1}{k} & \gt (m+1)^{\frac{1}{m}} \\ \text{∴} \quad \textstyle\sum\limits _ {k=1}^m \dfrac{k+1}{k} & \gt m (m+1)^{\frac{1}{m}} \ . \end{align}\] したがって, このとき \[ \left( \dfrac{1}{m+1} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{m+1} \dfrac{k+1}{k} \right)^{m+1} \gt \left\{ \dfrac{m (m+1)^{\frac{1}{m}} +\frac{m+2}{m+1}}{m+1} \right\}^{m+1} \quad ... [2] \ . \] ここで, \(a = m (m+1)^{\frac{1}{m}}\) , \(x = \dfrac{m+2}{m+1}\) , \(n = m\) とおいて, [1] を用いれば \[ [2] \geqq \left\{ \dfrac{m (m+1)^{\frac{1}{m}}}{m} \right\}^m \dfrac{m+2}{m+1} = m+2 \ . \] したがって \[ \dfrac{1}{m+1} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{m+1} \dfrac{k+1}{k} \gt (m+2)^{\frac{1}{m+1}} \ . \] ゆえに, \(n = m+1\) のときも [A] が成立する.

以上より, 題意は示された.

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【 解 答 】

(1)

\(f(x) = 0\) が \(\alpha , \beta , \gamma\) を解にもつので, 解と係数の関係より \[ \left\{\begin{array}{l} \alpha +\beta +\gamma = 0 \\ \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha = -k \\ \alpha \beta \gamma = 1 \end{array} \right. \quad ... [1] \ . \] \(\alpha' = \alpha \beta\) , \(\beta' = \beta \gamma\) , \(\gamma' = \gamma \alpha\) とおくと, [1] を用いて \[ \left\{\begin{array}{l} \alpha' +\beta' +\gamma' = \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha = -k \\ \alpha' \beta' +\beta' \gamma' +\gamma' \alpha' = \alpha \beta \gamma \left( \alpha +\beta +\gamma \right) = 0 \\ \alpha' \beta' \gamma' = \left( \alpha \beta \gamma \right)^2 = 1 \end{array} \right. \ . \] よって, \(g(x) = 0\) は \(\alpha' , \beta' , \gamma'\) を解にもち, \(x^3\) の係数が \(1\) なので, 解と係数の関係より \[ g(x) = \underline{x^3+kx^2-1} \ . \]

(2)

共通解を \(a\) とおくと \[ \left\{\begin{array}{l} f(a) = a^3-ka-1 = 0 \\ g(a) = a^3+ka-1 = 0 \end{array} \right. \ . \] したがって \[\begin{align} a^3-ka-1 & = a^3+ka-1 \\ ka(a+1) & = 0 \\ \text{∴} \quad k = 0 , \ a & = 0 , -1 \ . \end{align}\] であることが必要である.
それぞれの場合について, 共通解があるかを確認する.

1. 1*　\(k = 0\) のとき \[ f(x) = g(x) = x^3-1 \ . \] なので, 共通解をもつ.

2. 2*　\(a = 0\) のとき \[ f(0) = g(0) = -1 \neq 0 \ . \] なので, 共通解は存在しない.

3. 3*　\(a = -1\) のとき \[\begin{align} f(-1) = g(-1) & = k-2 = 0 \\ \text{∴} \quad k & = 2 \ . \end{align}\] このとき, 確かに \(x = -1\) が共通解となる.

以上より, 求める \(k\) の値は \[ k = \underline{0 , 2} \ . \]

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