\(n\) を \(2\) 以上の自然数とし, 整式 \(x^n\) を \(x^2-6x-12\) で割った余りを \(a _ n x +b _ n\) とする.
(1) \(a _ 2 , b _ 2\) を求めよ.
(2) \(a _ {n+1} , b _ {n+1}\) を \(a _ n , b _ n\) を用いて表せ.
(3) 各 \(n\) に対して, \(a _ n\) と \(b _ n\) の公約数で素数となるものをすべて求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[ x^2 = ( x^2-6x-12 ) +6x+12 \] よって \[ a _ 2 =\underline{6} , \ b _ 2 =\underline{12} \]
(2)
\(x^n\) を \(x^2-6x-12\) で割った商を \(Q(x)\) とおくと \[ x _ n = (x^2-6x-12) Q(x) +a _ n x +b _ n \] これを用いれば \[\begin{align} x^{n+1} & = (x^2-6x-12) x Q(x) +a _ n x^2 +b _ n x \\ & = (x^2-6x-12) \left\{ x Q(x) +a _ n \right\} +\left( 6 a _ n +b _ n\right) x +12 a _ n \end{align}\] よって \[ a _ {n+1} =\underline{6 a _ n +b _ n} , \ b _ {n+1} =\underline{12 a _ n} \]
(3)
(1) の結果から, すべての \(n\) に対して \(a _ n\) と \(b _ n\) の公約数となりうる素数は, \(2\) または \(3\) である.
(2) の結果から, \(a _ n , b _ n\) がともに \(6\) の倍数であれば, \(a _ {n+1} , b _ {n+1}\) もともに \(6\) の倍数となる.
\(a _ 2 , b _ 2\) が \(6\) の倍数なので, 帰納的にすべての自然数 \(n\) について \(a _ n , b _ n\) はともに \(6\) の倍数である.
よって, 求める素数は
\[
\underline{2 , 3}
\]