\(\angle \text{C}\) を直角とする直角三角形 ABC に対して, \(\angle \text{A}\) の二等分線と線分 BC の交点を D とする. また, 線分 AD , DC , CA の長さをそれぞれ \(5, 3, 4\) とする. \(\angle \text{A} = \theta\) とおくとき, 次の問いに答えよ.
(1) \(\sin \theta\) を求めよ.
(2) \(\theta \lt \dfrac{5}{12} \pi\) を示せ. ただし, \(\sqrt{2} = 1.414 \cdots\) , \(\sqrt{3} = 1.732 \cdots\) を用いてもよい.
【 解 答 】
(1)
\[ \cos \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{4}{5} , \ \sin \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{3}{5} \] なので \[\begin{align} \sin \theta & = 2 \sin \dfrac{\theta}{2} \cos \dfrac{\theta}{2} \\ & = 2 \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{3}{5} = \underline{\dfrac{24}{25}} \end{align}\]
(2)
\[\begin{align} \cos \theta & = 2 \cos^2 \dfrac{\theta}{2} -1 \\ & = 2 \left( \dfrac{4}{5} \right)^2 -1 = \dfrac{7}{25} \gt 0 \end{align}\] なので \[ 0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2} \] \(0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}\) において, \(\sin x\) は単調増加なので \[ \sin \theta \lt \sin \dfrac{5 \pi}{12} \] を示せばよい. \[\begin{align} \sin \dfrac{5 \pi}{12} & = \sin \left( \dfrac{\pi}{3} +\dfrac{\pi}{4} \right) \\ & = \sin \dfrac{\pi}{3} \cos \dfrac{\pi}{4} +\cos \dfrac{\pi}{3} \sin \dfrac{\pi}{4} \\ & = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} +\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ & = \dfrac{\sqrt{2} \left( \sqrt{3} +1 \right)}{4} \\ & \gt \dfrac{1.41 \cdot 2.73}{4} \\ & = 0.962325 \gt \dfrac{24}{25} = \sin \theta \end{align}\] よって \[ \theta \lt \dfrac{5 \pi}{12} \]