\(xyz\) 空間において, 点 \((1,0,1)\) と点 \((1,0,2)\) を結ぶ線分を \(l\) とし, \(l\) を \(z\) 軸のまわりに一回転してできる図形を \(A\) とする. \(A\) を \(x\) 軸のまわりに一回転してできる立体の体積を求めよ.

【 解 答 】

図形 \(A\) は下図のように, 底面が半径 \(1\) の円柱の側面となる.

\(A\) の \(x\) 軸まわりの回転体を \(K\) とおき, その体積を \(V\) とおく.
\(K\) は平面 \(x = 0\) について対称なので, \(x \geqq 0\) の領域について考えればよい.
\(K\) の \(x = t \ ( 0 \leqq t \lt 1 )\) による断面を考えると下図斜線部のようになる.

内径, 外径をそれぞれ \(r , R\) とおくと \[\begin{align} r^2 & = 1^2 + ( 1-t^2 ) = 2-t^2 , \\ R^2 & = 2^2 + ( 1-t^2 ) = 5-t^2 \end{align}\] なので, この面積を \(S(t)\) とおくと \[ S(t) = \pi \left( R^2 -r^2 \right) = 3 \pi \] よって, 求める体積は \[ V = 2 \displaystyle\int _ 0^1 S(t) \, dt = \underline{6 \pi} \]