連立方程式 \[ y \left( y -| x^2-5 | +4 \right) \leqq 0 , \ y +x^2 -2x -3 \leqq 0 \] の表す領域を \(D\) とする.
(1) \(D\) を図示せよ.
(2) \(D\) の面積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
第 \(1\) 式より \[ \left\{\begin{array}{ll} y \geqq | x^2-5 | -4 & \ ( \ y \lt 0 \text{のとき} ) \\ y \leqq | x^2-5 | -4 & \ ( \ y \geqq 0 \text{のとき} ) \end{array}\right. \] 第 \(2\) 式より \[ y \leqq -(x-1)^2 +4 = -(x+1)(x-3) \] よって, \(D\) は下図斜線部（境界含む）
(2)
求める面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = \displaystyle\int _ {-1}^{1} (1-x^2) \, dx -\displaystyle\int _ {1}^{\sqrt{5}} (1-x^2) \, dx \\ & \qquad -\displaystyle\int _ {\sqrt{5}}^{3} (x^2-9) \, dx \\ & = \dfrac{1}{6} \cdot 2^3 -\left[ x -\dfrac{x^3}{3} \right] _ {1}^{\sqrt{5}} -\left[ \dfrac{x^3}{3} -9x \right] _ {\sqrt{5}}^{3} \\ & = \dfrac{4}{3} +\left( \dfrac{2}{3} +\dfrac{2 \sqrt{5}}{3} \right) +\left( 18 -\dfrac{22 \sqrt{5}}{3} \right) \\ & = \underline{20 -\dfrac{20 \sqrt{5}}{3}} \end{align}\]